Instituto de Nivel Terciario Profesor: ¨Eduardo A. Fracchia¨ Integrantes: Marianela Ramírez. Uliambre Carlos. Farana Marisel. Integrantes: Marianela Ramírez. Uliambre Carlos. Farana Marisel. Curso: 3° Especialidad: Matemática Grupo: ¨Los pensadores a medid as¨

Cálculo del Área Aproximada

Introducción En el siguiente apartado trataremos de buscar una idea integradora que nos permita hallar el cálculo del área que ocupa una función f(x) en un intervalo determinado. El sucesivo trabajo contiene métodos numéricos comunes para el cálculo del área mediante sumatorias aproximadas y exactas. El escrito es meramente una introducción al tema en una escuela, tratado con el rigor estimado adecuado para un curso de educandos que tengan una noción de integrales. El trabajo no pretende ser exhaustivo. En general los métodos que se presentan a continuación se basan en la aproximación de la función. Queda para el lector el estudio de otros métodos desarrollados para más casos especiales.

Desarrollo Lo que haremos será tratar de dar una idea de cómo poder calcular el área de una función en un intervalo a través de métodos, ya sea de un modo exacto o de aproximación...

Suma de Riemann Es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de un integral definida, es decir, el área bajo una curva, éste método es muy útil cuando no es posible utilizar el teorema fundamental del cálculo. Nuestra función de referencia será :

A través de la suma de Riemann las cuales se presentan en forma generalizada por extremo izquierdo y por extremo derecho y en el cálculo aproximado utilizando 4, 6 y 8 rectángulos, punto medio, regla del trapecio y la Simpson. En base los distinto cálculos y gráficos se podrá ver la aproximación de la función en dicho intervalo Empezaremos a trabajar para cuatro rectángulos → n=4 Buscamos las variaciones Tomamos cuatro intervalos que estén comprendidos entre menos uno y uno.

Realizamos la suma tomando el extremo derecho (no toma el extremo menos uno pero si el extremo uno)  Área aproximada, error por defecto

Realizamos la suma tomando el extremo izquierdo (toma el extremo menos uno pero no el extremo uno)  Área aproximada, error por exceso

Y así podemos ir calculando cada vez con más rectángulos, la cantidad que deseemos por ejemplo 6,8,.., etc. Hasta n rectángulos, que será nuestra forma generalizada. Por ejemplo, vamos a calcular el área de la misma función pero para n=6. Lo que haremos a continuación serán los mismos procedimientos. Comenzaremos tomando el extremo derecho

Todas las gráficas podemos verificarlas con el programa Geogebra

Tomamos el extremo izquierdo

Daremos un ejemplo más para n=8 Procedemos de la misma manera para el extremo derecho A medida que agregamos más rectángulos, más vamos a aproximar al valor real del área de la función en ese intervalo…

Ahora tomamos extremo izquierdo para n=8

Suma de Riemann: El Cálculo Exacto  Para calcular el área utilizando límite por derecha y límite por izquierda. Como tomamos un intervalo que no comienza desde el origen utilizamos la siguiente fórmula:

 Primero trabajaremos Por derecha …

Por izquierda:

La regla del punto medio  Se analiza a continuación la aproximación resultante al considerar como puntos de evaluación de la función f ( x ), los puntos medios de cada uno de los sub - intervalos en que queda dividido el intervalo [ a, b ] para la aplicación del procedimiento de c á lculo.  Es otro método de cálculo aproximado Tomamos extremos derecho e izquierdo dividido dos. Para n=4(n=rectángulos), nuestra función era

Vamos a buscar los puntos medios de la siguiente manera: Tenemos Del Lo que haremos a continuación será reemplazar los puntos medios en nuestra función para poder después sumarlas tenemos

También podemos aplicar el límite por ejemplo:

Aplicamos propiedades de sumatoria a nuestra expresión de manera que quedaría: Y como,la y la

Ahora reemplazamos en nuestra expresión y seguimos resolviendo: Simplificamos todo lo que podemos

 Ahora estudiaremos mas métodos Llevamos al límite y aplicamos propiedades de éste

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. Lo que haremos a continuación será estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson Regla del Trapecio Regla de Simpson

Regla o método del trapecio Parte de relacionar con el trapecio la:  ALTURA: incremento de X  BASE MENOR: extremo izquierdo  BASE MAYOR: extremo derecho  F(x) en

Que es la regla del trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la formula. La integral, corresponde al área que se encuentra determinado debajo de la línea recta de la función y en un intervalo determinado, que es precisamente el área del trapecio que se forma.

Lo que haremos a continuación será hallar el incremento de x y los intervalos con los que vamos a trabajar. Tomamos nuestra funci ó n de referencia en el intervalo elegimos trabajar con cuatros rect á ngulos n=4

Otra posibilidad de cálculo aproximado puede ser agrupar los puntos de la partición de tres en tres y aproximar la función por segmentos parabólicos (ahora vamos a usarlos a esto en vez de rectángulos). Entonces. la integral de la función se puede aproximar por la integral del segmento parabólico

Sea f una función continua en un intervalo la regla de Simpson para aproximar viene dada por:  Siendo ¨n¨ la cantidad de intervalos pares  La cantidad de puntos es impar Tomamos nuestra función de referencia en el intervalo para n=4

El geogebra no tiene el método de Simpson para graficar. ACLARACION: ¨La regla del trapecio y la regla de Simpson son métodos de aproximación, que no se los lleva al límite¨.

Conclusión Uno de los problemas matemáticos más frecuentes, es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Éste trabajo proyectó al lector varias técnicas básicas que le permiten resolver expresadas situaciones de cálculos, comprendidas en determinados intervalos, utilizando diferentes “MÉTODOS DE APROXIMACIÓN”. Reiteraremos lo estudiado: Sumas de Riemann: Cálculos por izquierda y por derecha. Regla del punto medio. Regla o método del trapecio. Regla o método de Simpson. Por la definición de integral definida sabemos que cualquier suma de Riemann puede tomarse como una aproximación al valor de la integral, y que dicha aproximación mejora a medida que hacemos más y más pequeña la norma de la partición del intervalo [a,b]… En algunos de éstas inventivas se aplica límite, mientras que en otros no. Pero esto nos sirve para concluir que las técnicas son diferentes, que los resultados hallados en cada uno de ellos iguales y que éstos solo difieren en pequeñas décimas que son inapreciables. Uno de los problemas matemáticos más frecuentes, es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Éste trabajo proyectó al lector varias técnicas básicas que le permiten resolver expresadas situaciones de cálculos, comprendidas en determinados intervalos, utilizando diferentes “MÉTODOS DE APROXIMACIÓN”. Reiteraremos lo estudiado: Sumas de Riemann: Cálculos por izquierda y por derecha. Regla del punto medio. Regla o método del trapecio. Regla o método de Simpson. Por la definición de integral definida sabemos que cualquier suma de Riemann puede tomarse como una aproximación al valor de la integral, y que dicha aproximación mejora a medida que hacemos más y más pequeña la norma de la partición del intervalo [a,b]… En algunos de éstas inventivas se aplica límite, mientras que en otros no. Pero esto nos sirve para concluir que las técnicas son diferentes, que los resultados hallados en cada uno de ellos iguales y que éstos solo difieren en pequeñas décimas que son inapreciables.