ESCUELA DE OFICIALES DE LA POLICÍA NACIONAL DEL PERÚ Lic. Kelly Bedón A. Matemática - Informática LÓGICA La Metavariable.

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1 ESCUELA DE OFICIALES DE LA POLICÍA NACIONAL DEL PERÚ Lic. Kelly Bedón A. Matemática - Informática LÓGICA La Metavariable

2 EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL a) La construcción de fórmulas bien formadas

3 Cuando el lenguaje falla… Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles: 1.SINTÁCTICO A esta oración del castellano les falla algo A esta otra oración le falla todavía más cosa Última es esta galimatías una oración pura

4 2.SEMÁNTICO Esta frase del castellano tiene una palabra extraña Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente Confucio es impar La existencia es el devenir del karma cuántico

5 3.PRAGMÁTICO Él ha dicho que le dé la medicina “Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento) ¿Me da un libro sobre cómo hacer amigos, carahuevo?

6 3 niveles de análisis del lenguaje 1. SINTAXIS: C entrada en la estructura formal de las oraciones 2. SEMÁNTICA: C entrada en las condiciones de verdad de las oraciones 3. PRAGMÁTICA: C entrada en los efectos del contexto sobre las oraciones

7 3 niveles de análisis del lenguaje  En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y la semántica.  Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la parte formal, i.e., el modo en que la disposición formal de los elementos afecta a los valores de verdad: Sólo Kant ama a Hume ≠ Kant ama sólo a Hume

8 El alfabeto lógico  Todo lenguaje necesita de: 1. Un alfabeto, i.e., un conjunto de elementos primitivos desde los que construimos sus expresiones  El alfabeto latino no resulta ser el mismo que el ruso

9 La sintaxis lógica  Todo lenguaje necesita de: 2.Reglas de combinación de los elementos primitivos  Inglés y español comparten alfabeto, pero no admiten las mismas combinaciones: ortográficas: THR no es una combinación de letras admisible en español sintácticas: el español admite sujeto elíptico

10 Alfabeto de la lógica proposicional EEl lenguaje de la lógica proposicional (L 0 ) necesita tres tipos distintos de símbolos: 1. CONSTANTES PROPOSICIONALES 2. CONECTIVAS LÓGICAS 3. SÍMBOLOS AUXILIARES

11 1. CONSTANTES PROPOSICIONALES -S-Simbolizan oraciones o proposiciones, i.e., unidades que tienen un valor de verdad -S-Son los equivalentes lógicos de ‘ llueve’, ‘yo soy Pepe’, ‘mañana es viernes’, ‘el universo es una sucesión infinita de transmigraciones cósmicas’ Alfabeto de la lógica proposicional

12 1. CONSTANTES PROPOSICIONALES - Utilizaremos las siguientes letras minúsculas: p, q, r, s, t, u - Si necesitamos simbolizar más oraciones (un número infinito de ellas), recurrimos a subíndices numéricos: p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 … Alfabeto de la lógica proposicional

13 2. CONECTIVAS LÓGICAS - Las oraciones pueden conectarse entre sí por medio de partículas con valor lógico - Las principales partículas son cinco, que equivalen a las siguientes: Y, O, SI…(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO Alfabeto de la lógica proposicional

14 2. CONECTIVAS LÓGICAS - Estas partículas caen en dos grupos: a) Binarias: Las que conectan dos oraciones: Hume canta Y Kant humea Platón tiene razón O la tiene Aristóteles SI Dios no existe, todo está permitido Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio Alfabeto de la lógica proposicional

15 2. CONECTIVAS LÓGICAS -E-En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales: No = NEGADOR ¬ Alfabeto de la lógica proposicional

16 2. CONECTIVAS LÓGICAS - En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales: Y = CONYUNTOR  Alfabeto de la lógica proposicional

17 2. CONECTIVAS LÓGICAS - En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales: O = DISYUNTOR  Alfabeto de la lógica proposicional

18 2. CONECTIVAS LÓGICAS - En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales: SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL  Alfabeto de la lógica proposicional

19 2. CONECTIVAS LÓGICAS - En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales: SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL  Alfabeto de la lógica proposicional

20 3. SÍMBOLOS AUXILIARES - Son paréntesis y corchetes, que sirven para agrupar los otros símbolos de manera que se puedan evitar ambigüedades: ()[ ] Alfabeto de la lógica proposicional

21 He aquí todo de una vez: CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p 1, p 2, p 3 … CONECTIVAS: ¬, , , ,  AUXILIARES: (, ), [, ] Alfabeto de la lógica proposicional

22 Recursividad  La mayoría de los lenguajes son recursivos: empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones. La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro

23  Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas.  Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental. Recursividad

24  La recursividad comienza por tomar algunos elementos básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos: - Dadas las oraciones básicas ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes: Hume canta y Kant baila Hume canta o Kant baila Si Hume canta, Kant baila Hume no canta Kant no baila Hume canta si y sólo si Kant baila ETC. Recursividad

25  Podemos seguir aplicando esto en general: dadas las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes: O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc. Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’ Recursividad

26 -Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas -Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas -Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas -Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila -Hegel da palmas si y sólo si Kant baila -Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da palmas Recursividad

27 Fórmulas atómicas  Serán las que correspondan a las oraciones simples del castellano: sin ninguna partícula lógica.  Se trata por tanto de las constantes proposicionales: p q r … son (algunas) fórmulas atómicas

28 Fórmulas moleculares  Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas: p  q p  r q  p r  q  q son (algunas) fórmulas moleculares

29 Ambigüedad  En el lenguaje natural con frecuencia aparecen posibles ambigüedades: Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas ¿Da o no da palmas Hegel? Ahora sí: Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas

30  En lógica queremos construir fórmulas que excluyan toda ambigüedad.  En el lenguaje natural usamos diversos elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto.  Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas. Ambigüedad

31 - Nuestro principal recurso contra la ambigüedad son los PARÉNTESIS. - Sea: p  Hume canta ; q  Kant baila ; r  Hegel da palmas p  q  r es AMBIGUA; equivale a: Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas p  (q  r)  H canta, o K baila y He da palmas ( p  q)  r  H canta o K baila, y He da palmas Ambigüedad

32 Metavariables - Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el castellano es su metalenguaje. - Pero necesitamos ampliar nuestro metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas. - Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas:  … -Las llamaremos METAVARIABLES

33 - Una constante, como p, representa aquello que la hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc) - Una metavariable, como , representa cualquier fórmula: p ; ¬q ; p  r ; p  (q  r) ; p  (p  p) … -Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa Metavariables

34 Reglas de formación (iii) Si ,  son fórmulas, (    ), (    ), (    ), (    ) son fórmulas -Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas: (p  ¬q) (¬p  s)(p  ¬r) … (q  ¬p ) … (¬p  q) (p  ¬s) (¬p  ¬r) … (¬q  p) … (p  ¬q) (¬p  r) (¬p  ¬r) … (¬p  q)(p  ¬r) (¬p  r) …

35 (iii) Si ,  son fórmulas, (    ), (    ), (    ), (    ) son fórmulas -Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas : ¬(p  ¬q) ¬(¬p  s)¬(p  ¬r) … ¬(q  ¬p ) … ¬(¬p  q) ¬(p  ¬s) ¬(¬p  ¬r) …¬ (¬q  p) … ¬(p  ¬q) ¬(¬p  r) ¬(¬p  ¬r) … ¬(¬p  q)¬(p  ¬r) ¬(¬p  r) … ¬¬(p  q) … ¬¬(¬p  ¬q) … ¬(p  ¬¬q) … Reglas de formación

36 - Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos: (p  (p  q)) (¬p  (q  ¬s))(p  ¬r)  (q  ¬p ) (p  ((¬p  q)  (p  ¬s))) ((¬p  ¬r)  (¬q  p))  (p  ¬q) … Reglas de formación

37 Reglas de simplificación  Pueden suprimirse siempre: (a) Los dos paréntesis externos: (p  (q  ¬r))  p  (q  ¬r) (Nota: El símbolo  se lee como ‘es equivalente a’)

38  Pueden suprimirse siempre: (b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores: (p  (q  r))  (p  q  r) pero (p  ¬(q  r))  (p  ¬q  r) !! (p  (¬q  r))  (p  ¬q  r) pero (p  ¬(q  r))  (p  ¬q  r) !! Reglas de simplificación

39 Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas? (¬(p  ¬q) (p  q)  ¬p  q ((q  (r  ¬s))  (¬¬p  q))  ¬r ¬(s  (p  q¬)) ¬(p  (¬q  ¬(r  (¬s  t)))) ¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p (¬q  (r  (¬p  q)))  (q  (¬r  (p  ¬q))) ¬

40 Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas? ((¬q  r)  ¬(p  q))  ¬(q  r)  ((p  ¬q)  q) ¬(p  ¬q)  ¬r)  ¬s)  t)))) (((p  q  ¬r)  (¬q  ¬p))  (p  ¬s))  (¬p  q  r) (p  (q  ¬p  r))  (p  q) (((p  (q  ¬r))  (¬q  s))  (s  ¬p))  (p  q) (p  q  ¬r)  (p  ¬q  ¬r)  (¬p  q  r) (p  q)  (¬p  q)  (p  ¬q)  (¬p  ¬q)

41 Ejercicio: conectiva dominante ¬(p  ¬q) (p  q)  (¬p  q) ((q  (r  ¬s))  (¬¬p  q))  ¬r ¬(s  (p  q)) ¬(p  (¬q  ¬(r  (¬s  t)))) ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p (¬q  (r  (¬p  q)))  (q  (¬r  (p  ¬q))) ¬

42 Ejercicio: conectiva dominante (((¬q  r)  ¬(p  q))  ¬(q  r))  ((p  ¬q)  q) ¬((((p  ¬q)  ¬r)  ¬s)  t) (((p  q  ¬r)  (¬q  ¬p))  (p  ¬s))  (¬p  q  r) (p  (q  (¬p  r)))  (p  q) (((p  (q  ¬r))  (¬q  s))  (s  ¬p))  (p  q) (p  q  ¬r)  (p  ¬q  ¬r)  (¬p  q  r) (p  q)  (¬p  q)  (p  ¬q)  (¬p  ¬q)