Taller de Lógica Facultad de Filosofía y Letras, UBA. www.accionfilosofica.com 2do cuatrimestre de 2006 Facultad de Filosofía y Letras, UBA. www.accionfilosofica.com.

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1 Taller de Lógica Facultad de Filosofía y Letras, UBA. www.accionfilosofica.com 2do cuatrimestre de 2006 Facultad de Filosofía y Letras, UBA. www.accionfilosofica.com 2do cuatrimestre de 2006

2 Taller de Lógica Kurt Gödel

3 Taller de Lógica: El teorema de Gödel SP y QT son teorías axiomáticas {L, Ax, R} -Tener modelo -Ser consistene -No existe una interpretación en la cual la A sea falsa. -Existe un objeto sintáctico en el cual la última fórmula de esa secuencia es A. Resultados: SP es correcto, consistente, completo y decidible. QT: es correcto, consistente, completo (Teorema de Gödel, 1930). Teorema Löwenheim-Skolem (Toda teoría QT tiene un modelo denumerable).

4 Taller de Lógica: El teorema de Gödel Dos conceptos de consistencia: M-consistente: consistente desde el punto de vista de TM. el conjunto es M-consistente ssi hay un modelo que hace verdadera toda fórmula de. P-consistente:el conjunto es P-consistente ssi no existe una fórmula A tal que A se pueda probar desde y no A se pueda probar de Derivación de A desde es un concepto que se aplica a secuencias de fórmulas. Existe un objeto (una derivación) tal que…El objeto D es finito Sea : { p, r, ¬ p} ¿Es m-consistente? ¿Es p-consistente?

5 Taller de Lógica: El teorema de Gödel Dos conceptos de consistencia: Sea el conjunto de los infinitos teoremas de una T. Lo que se busca es que el conjunto es tal que dentro de esté A y su negación. Lo que se busca es que no exista una fórmula A que se derive sintácticamente de ella y su negación. Sistema SP (HUNTER) {P, Ax, Reglas}P: LenguajeDefinición recursiva de Fbf

6 Taller de Lógica: El teorema de Gödel Nociones relativas consistencia: Noción de consistencia respecto de la negación: Una T es consistente respecto de ¬ ssi no existe una derivación en S de A y su negación. No se está diciendo estrictamente que A y no A sean contradictorios. Lo que se dice es que hay una secuencia que es una prueba de A y otra secuencia que es una prueba de no A Noción de consistencia absoluta: La consistencia no está relativizada a ningún conectivo particular. T es consistente ssi existe una A tal que A no pueda derivarse. No todo es teorema (no todo es afirmable como parte de la teoría)

7 Taller de Lógica: El teorema de Gödel SP es consistente respecto de la negación Hay que probar que si una fórmula es teorema, entonces su negación no es un teorema. ¬ A [ A es teorema & ¬ A es teorema] A ¬ [ A es teorema & ¬ A es teorema] A [ A no es teorema o ¬ A no es teorema] A [ A es teorema ¬ A no es teorema] Estrategia de la prueba:el sistema SP tiene una propiedad: la de ser consistente respecto de la ¬. Esto ocurrirá ssi para toda A ocurre que si A es teorema, entonces no es teorema ¬ A.

8 Taller de Lógica: El teorema de Gödel SP es consistente respecto de la negación Buscar una propiedad distinguida, tal que si una fórmula A la tiene, entonces ¬A no la tiene. A es un teorema Si A tiene una propiedad P, entonces ¬A no la tiene. A es distinguida sss la función tabla de A le asigna 1. Con esta definición los teoremas son distinguidos. Estructura general de la prueba: Objetivo de la prueba [ A es teorema ¬ A no es teorema] 1. A es teoremaSuposición 2. A es teorema A es distinguida 3. A es distinguida ¬ A no es distinguida Por eso, ¬ A no es teorema

9 Taller de Lógica: El teorema de Gödel -El enfoque sintáctico y el semántico son equivalentes: -Si A es una tautología, entonces A es un teorema. (Completitud) - -Núcleo de la prueba de Henkin: -Lema: si es consistente, existe un modelo para -Se supone que el conjunto de teoremas es consistente y luego mostrar que es posible construir una interpretación que las haga verdaderas. -Prueba inductiva dentro de los elementos de para construir la interpretación. -Proposición 1.12 (Mendelson) Todo teorema de L es una tautología (Corrección) -Dado cualquier teorema de T, es imposible encontrar un M que lo haga falso. -Todos los axiomas son tautologías -El MP preserva la tautologicidad. -Si A es un teorema, entonces A es una tautología.

10 Taller de Lógica: El teorema de Gödel -Kurt Gödel (1931) Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos -Problema: Fundamentos de las Matemáticas -Aplicar el método axiomático para las matemáticas PM (Principia Mathematica) Define las entidades matemáticas (números) usando lógica. {L, Ax, R} -Conjunto infinito de todos los teoremas de PM -Conjunto infinito de todas las verdades de PM. -Axiomatización perfecta de las matemáticas: -Deriva como teoremas todas las verdaderas matemáticas y ninguna falsedad desde un conjunto finito de Ax, aplicando mecanicamente las reglas de inferencia.

11 Taller de Lógica: El teorema de Gödel -Sistema axiomático incompleto: -Es posible probar algunas, pero no todas, las fórmulas verdaderas, y ninguna fórmula falsa a partir de un número finito de axiomas aplicando reglas de inferencia. -Sistema axiomático inconsistente: Es posible probar A y ¬ A.

12 Taller de Lógica: El teorema de Gödel Problema de Gödel: -Para cualquier campo de la matemática, ¿es posible ofrecer un conjunto de axiomas que sean suficientes como para probar la totalidad de las verdades de ese campo. Teorema de incompletitud de Gödel -En todo sistema axiomático que tenga por lo menos la complejidad de la aritmética, hay proposiciones metamatemáticas que no pueden probarse o refutarse mediante deducciones formales basadas en los axiomas del sistema (hay proposiciones matemáticas indecidibles).axiomas -Todo sistema axiomático posee ciertas limitaciones intrínsecas que excluyen la posibilidad de que ni siquiera la aritmética ordinaria de los números enteros pueda ser plenamente axiomatizada.

13 Taller de Lógica: El teorema de Gödel -Gödel demostró que es imposible establecer la consistencia lógica interna de una amplia clase de sistemas deductivos (dentro de los que se incluye la aritmética), a menos que se adopten principios tan complejos de razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la duda como la de los propios sistemas. -Toda formulación axiomática consistente de la teoría de números incluye fórmulas indecidibles. -Fórmula indecidible: no puede probarse o su verdad o su falsedad dentro de la teoría de números.

14 Taller de Lógica: El teorema de Gödel -Estrategia de la Prueba: -Tesis: En PM hay fórmulas verdaderas que no pueden probarse. -Encontrar un caso G: -La fórmula G de Gödel : Esta fórmula de la teoría de números no tiene ninguna prueba en PM - G no tiene una prueba, pero es verdadera! -Si G fuera probable, entonces PM sería inconsistente. -Si G fuera no probable, entonces PM sería incompleto. -Por eso, PM no puede ser completo y consistente!