Lógica Proposicional.

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1 Lógica Proposicional

2 LÓGICA Es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo y deductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permite llegar a conclusiones generales a partir de observaciones particulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nos permite llegar a conclusiones particulares a partir de observaciones generales. ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc. ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma de expresión matemática que no es verdadero ni falso. Ejemplos: x < x + 2 = 10 a + b = a2 + b2 = c2

3 PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un enunciado informativo que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez. La veracidad o falsedad de una proposición se denomina “Valor de verdad de la proposición” SON PROPOSICIONES: NO SON PROPOSICIONES: 39 es un número primo ( ) La Plata es la capital de Bs As ( ) 1/2 < 1/ ( ) F Resuelve este problema ¿Puedes prestarme tu libro? Buenos días profesor V F

4 PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, ….. a las que llamaremos variables proposicionales Ejemplos: VALOR DE VERDAD 15 es un número primo : p ( ) Lima es la capital del Perú : q ( ) 32 = 9 : r ( ) F V F PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple. En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante palabras conocidas como conectivos lógicos

5 Conectivos lógicos Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos. Los siguientes conectivos son los más recurrentes: “si y sólo si” “o o” “si…entonces…” “o” “y” “no”

6 PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD
q p q r Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta. V V V V V V V F V V F F F V V F V 21 F F V F F F V V 22 En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n posibilidades F V F F F V F F F 23

7 Definición de Algunos Enunciados Compuestos
1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “” y se llama conjuntor. Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica” q p p : Jorge viajó al Cusco Simbología: “p  q” q : Luis viajó a Ica NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.

8 TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
p  q V V V V F F F F V La conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. F F F

9 2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA
2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor. Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca” r s r : Eliana viajará al Cuzco Simbología: “r  s” s : Eliana viajará a Cajamarca

10 TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL
p  q V V V La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas V V F F V V F F F

11 3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA
3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco” p q p : Ricardo radica en Miraflores Simbología: “p  q ” q : Ricardo radica en Barranco

12 TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE
p  q La disyunción fuerte es verdadera solo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad V F V V V F La disyunción fuerte es falsa solo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad F V V F F F

13 4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador. Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible por 2” q p p : 12 es un número par ……………….… (antecedente) q : 12 es un número divisible por 2 ……(consecuente) Simbología: “p → q ”

14 La simbología para ambos casos es: p → q
Notas: 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc. 2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que p; q siempre que p; q porque p; etc. Ejemplo La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3 (antecedente) p (consecuente) q 426 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (consecuente) q (antecedente) p La simbología para ambos casos es: p → q

15 TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL
p  q V V V V F F F V V El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. F V F

16 5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador. Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua” p q p : Sicilia es una isla Simbología: “p ↔ q ” q : Sicilia está rodeada de agua

17 TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
p  q El bicondicional es verdadero solo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad V V V V F F El bicondicional es falso solo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad F F V F V F

18 Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero
6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo es “” y se llama negador. Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo” p Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo” p Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero q r Simbología: ( q  r )

19 TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN
p  p V F F V

20 TABLA RESUMEN ~ Conector Valor de verdad Condición « V D ® F Ú Ù
Si ambos tienen igual valor de verdad. D Si tienen valores diferentes de verdad. F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso Ú Si ambos son falsos Ù Si ambos son verdaderos ~ Si la proposición es falsa.

21 EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA
Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p  q)  (p  r) Solución p q r ( p  q )   ( p   r) V V V V V V V F V V F V V F V V V F V V V V V F V V F F V V V F F V F F V F F F F V V V F F F F F V V V V F F F V F F F V F F F V V F F V F F F F F F V F F V F F F F F F F F V

22 La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos: Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

23 ( q   r )  p F F (  r   p )  ( p   r )
Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q  r)  p es FALSA Determinar el valor de verdad de: (r  p)  (p  r) SOLUCIÓN ( q   r )  p F Primero analizamos la condición V V V F F Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se evalúa la fórmula planteada (  r   p )  ( p   r ) F V V V F F V El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO