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LOGICA 1. 2 Proposición 4 Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada.

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1 LOGICA 1

2 2 Proposición 4 Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa 4 Es una sentencia declarativa. 4 Representa un hecho de la realidad. 4 Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo. 4 Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

3 3 4 Ejemplos –1 + 4 = 5 (Verdad) –La Pampa es una nación. (Falso) – (no es proposición) –María (ídem anterior) Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

4 4 Proposición Atómica 4 Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. 4 Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa. 4 Ejemplos: –La casa es grande. (es atómica) –La casa no es grande.( no es atómica) –Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

5 5 Proposición Molecular 4 Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. 4 Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

6 6 Proposiciones Moleculares 4 Ejemplos –Vamos en bicicleta o vamos a pie. –No es cierto que Juan llegó temprano –Juan no llegó temprano –Luis es arquitecto y Martín es médico. –La medalla no es de plata y el diploma parece falso. –Matías aprobó pero Lucas no.

7 7 Simbolización 4 Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. 4 Ejemplo: –El Sr.Domínguez es el gerente. Si se considera p = El Sr.Domínguez es el gerente esta proposición puede ser simbolizada como p.

8 8 Simbolización 4 Para simbolizar un proposición –Identificar las proposiciones simples o atómicas –Simbolizar las proposiciones simples o atómicas encontradas. –Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

9 9 Simbolización 4 Ejemplos –Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : Vamos en bicicleta. q : Vamos a pie Simbolización: p v q –No es cierto que Juan llegó temprano p = Juan llegó temprano. Simbolización : p

10 10 Simbolización 4 Ejemplo –La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : La medalla es de plata. q : El diploma parece falso Simbolización: p ^ q

11 11 Simbolización 4 Ejemplo –Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = Matías aprobó el examen. s = Lucas aprobó el examen Simbolización : r ^ s

12 12 4 La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean p: La temperatura está sobre los 17°C q: Llueve 4 La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. 4 Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. 4 No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. 4 Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. 4 Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva. 4 O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

13 13 Tabla de Verdad 4 La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

14 14

15 15 Negación 4 Indique el valor de verdad de: –El número 9 no es divisible por 3. –No es cierto que los perros vuelan. p

16 16 Conjunción 4 Indique el valor de verdad de : –6 es un número par y divisible por 3. –( = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

17 17 Disyunción 4 Indique el valor de verdad de : –2 es primo o es impar. –(2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

18 18 Construcción de tablas de verdad 4 ¿Cuántas filas tiene la tabla? –1 proposición 2 valores (V o F) –2 proposiciones 4 valores de verdad –3 proposiciones 8 valores de verdad – –n proposiciones 2 n valores de verdad.

19 19 Ejemplos 4 Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q)

20 20 Ejercicio 4 Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s (q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

21 21 Ejercicio 4 Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

22 22 Ejercicio 4 Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

23 23 Proposiciones moleculares 4 Según su valor de verdad pueden ser –Tautología –Contradicción –Contingencia

24 24 Tautología 4 Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 4 Ejemplo: p v p

25 25 Contradicción 4 Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 4 Ejemplo: p ^ p

26 26 Contingencia 4 Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos. 4 Ejemplo: p ^ q

27 27 4 ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? 4 ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál? Ejercicios Formaliza las siguientes proposiciones : No es cierto que no me guste bailar Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

28 28 Equivalencia Lógica 4 Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) 4 Ejemplo: (p q) p q

29 29 Ejemplo: pqp v q (p q) VVVF VFVF FVVF FFFV pq p q p q VVFFF VFFVF FVVFF FFVVV (p q) p q

30 30 Leyes de De Morgan 4 La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q 4 La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q

31 31 Proposición condicional 4 Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

32 32 Proposición condicional 4 Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos entonces aprenderemos matemática p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos " q = "aprenderemos matemática" Simbolizando: p q

33 33 Proposición condicional 4 Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p q

34 34 Tabla de verdad del condicional pq p q VVV FVV VFF FFV La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

35 35 Proposición Condicional 4 Existen distintas formas de leer un condicional: –Si p entonces q. – q es una condición necesaria para p –p es una condición suficiente para q.

36 36 Distintas formas de indicar una proposición condicional 4 Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par –Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par –Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par –Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

37 37 Proposición condicional 4 La contra positiva de la proposición condicional p q es la proposición q p 4 Muestre la equivalencia lógica: p q q p

38 38 Proposición bicondicional 4 Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos. pq p q VVV VFF FVF FFV

39 39 p q (p q) ^ (q p) pq p qq p(p q) ^ (q p) VVVVV VFFVF FVVFF FFVVV

40 40 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa. a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p q ) r ( s t ) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p q ) q b) ( p q ) ( p q ) c) q ( p q)


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