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LÓGICA PROPOSICIONAL. Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede se le puede asignar un valor de verdad o falsedad. Es.

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1 LÓGICA PROPOSICIONAL

2 Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede se le puede asignar un valor de verdad o falsedad. Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, Tiene un valor afirmativo. Nota: Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas y los juicios de valor no afirman nada y no pueden ser considerados como enunciados.

3 Oraciones Luis y Martha van al cinema. Nueve más cinco es igual a diez. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. χ ¡Siéntate! χ ¿Cuándo sale el autobús? χ ¿Qué hora tienes? χ Pedro es buen alumno. χ La casa está pensando renunciar.

4 Los símbolos usados en lógica proposicional son: Las constantes lógicas Verdadero y Falso. Los símbolos de proposiciones tales como p, q ; etc. Los conectivos lógicos,,,,, ~ Los y paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. Todas las oraciones se forman combinando los símbolos anteriores mediante ciertas reglas. Un símbolo propositivo como p o q es una oración en sí misma.

5 Los conectivos o conectores lógicos son símbolos que permiten obtener nuevas proposiciones a partir de proposiciones simples, llamadas también proposiciones atómicas. Las proposiciones que se forman usando conectores lógicos se llaman proposiciones compuestas o moleculares.

6 Se llama negación de una proposición p, a la proposición no p. Se denota por ~p, -p, ¬ p o p. Observación: La proposición ~p es verdadera si p es falsa y, es falsa si p es verdadera. Tabla de verdad: p~p VF FV Ejemplo: p: = 5 ~p: No es cierto que = 5 ~p:

7 Se llama conjunción de las proposiciones p y q a la proposición p y q; la cual se denota por p Λ q. La proposición p Λ q es verdadera sólo si p y q son verdaderas. En los demás casos es falsa. Tabla de verdad pq p Λ q VVV VFF FVF FFF

8 p: El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales q: El triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales p Λ q: El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales En forma más sencilla la proposición p Λ q se enuncia: El triángulo equilátero tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales

9 Se llama disyunción de las proposiciones p y q a la proposición p ó q; la cual se denota por p v q. La proposición p v q es verdadera sólo si al menos una de las proposiciones p ó q es verdadera y es falsa si ambas son falsas. Tabla de verdad pqp v q VVV VFV FVV FFF

10 p: = 4 q: = 5 p v q: = 4 ó = 5 NOTA: Se usa el o en el sentido inclusivo (cualquiera de los dos, o las dos preposiciones son válidas); lo cual hace que la frase anterior sea verdadera.

11 Se llama disyunción excluyente de las proposiciones p y q a la proposición o p… o q. Se denota como, ó p q. La proposición es falsa sólo si las proposiciones p y q tienen igual valor de verdad y es verdadera, en caso contrario. Tabla de verdad pq p q VVF VFV FVV FFF

12 p: Me estas diciendo la verdad ~p: Me estás mintiendo p ~p: O me estás diciendo la verdad o me estás mintiendo NOTA: Como se mencionaba anteriormente, esta O … o … se usa en el sentido excluyente, es decir se acepta uno de los valores; pero no ambos, lo que hace que la frase anterior sea verdadera (se puede verificar fácilmente mediante una tabla de verdad).

13 Se llama condicional de las proposiciones p y q a la proposición Si p, entonces q. La primera proposición se llama antecedente y la segunda consecuente. Se denota por p q y se lee: si p, entonces q ó p es condición suficiente para q ó q es condición necesaria para p. La proposición p q es falsa solamente si p es verdadera y q es falsa y es verdadera en cualquier otro caso.

14 pqp q VVV VFF FVV FFV p: El sistema solar está formado sólo por astros q: La tierra es un astro p q: Si el sistema solar está formado sólo por astros, entonces la tierra es un astro

15 Se llama bicondicional de las proposiciones p y q a la proposición p si y sólo si q ó p es condición necesaria y suficiente para q; la cual se denota por p q. La proposición p q es verdadera si ambas p y q son verdaderas o falsas a la vez, y es falsa en otros casos. Tabla de verdad pqp q VVV VFF FVF FFV

16 PQ~P~P P Q VVFVVFVV VFFFVVFF FVVFVVVF FFVFFFVV

17 Formaliza las siguientes proposiciones: 1. No es cierto que no me guste bailar 2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción. 3. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. 4. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. 5. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como nunca. 6. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un hospital psiquiátrico. 7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

18 Formaliza la siguientes proposición: Mary puede escribir el programa en Inglés o en Alemán o puede no escribirlo. Si no escribe el programa sacará cero y reprobará el curso. Si reprueba el curso será puesta en el padrón de jalados y si se saca cero su novio la dejará. Si Mary escribe el programa en Inglés reprobará el curso pero si lo escribe en Pascal pasará. P: Mary escribe el programa en Inglés Q: Mary escribe el programa en Alemán R: Mary escribe el programa S: Mary saca un cero T: Mary reprueba el curso U: Mary es puesta en el padrón de jalados V: El novio de Mary la deja. (P v Q v ͂ R) Λ [ ͂ R (S Λ T)] Λ [(T U) Λ(S V)] Λ [(P T) Λ (Q ͂ T)]

19 Usamos tablas de verdad para probar la validez o falsedad de una proposición. Encuentra el valor de verdad del siguiente argumento: [(p q) p ] q pq p q ~P~P (p q) p q [(p q) p] q VVVFFVV VFVFFFV FVVVVVV FFFVFFV

20 Si se verifica que una proposición contiene sólo valores de verdad; entonces se dice que la proposición es una tautología. Si se verifica que la proposición contiene sólo valores de falsedad; entonces se dice que la proposición es una contradicción. Si se verifica que una proposición contiene tanto valores de verdad como de falsedad; entonces se dice que la proposición es una contingencia. Entonces podemos afirmar que la proposición del ejemplo anterior se trata de una TAUTOLOGÍA.

21 1. [b me gusta bailar]. ¬(¬b) 2. [b me gusta bailar. c me gusta leer libros de ciencia ficción]. b c 3. [g los gatos de mi hermana sueltan pelo. a me gusta acariciar los gatos ]. ¬ga 4. [m ver un marciano con mis propios ojos. e creer en los extraterrestres ]: m e 5. [p salir a dar un paseo. e estudiar como nunca: p e 6. [v los elefantes vuelan. t los elefantes tocan él acordeón. r estar loco. p internar en un hospital psiquiátrico ]: ( v V t ) ( r p) 7. [ v ir de vacaciones. n no hacer nada. t tener tiempo. s ir a trabajar]: 8. (t ¬s ) (v V n )


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