MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Presentación del tema: "MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE"— Transcripción de la presentación:

1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)
CARACTERÍSTICAS: LA PARTÍCULA SIGUE UNA TRAYECTORIA RECTA OSCILA ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO EL MOVIMIENTO ES PERIÓDICO (T) ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS – INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO. PUEDE SER: LIBRE: NO ACTÚAN FUERZAS DISIPATIVAS – EL SISTEMA OSCILA INDEFINIDAMENTE (NO REAL) AMORTIGUADO: ACTÚAN FUERZAS DISITATIVAS (ROZAMIENTOS) – EL SISTEMA ACABARÁ DETENIENDOSE EN SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO

3 POSICIÓN DE EQUILIBRIO
Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas. Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa). Amplitud – Valor máximo de la elongación. x(t)Elongación POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD x=-A x= x=A x(t)

4 CÁLCULO DE LA ELONGACIÓN DEL M.A.S.
1 Supón que la partícula (p’) sigue un M.C.U. 2 Denomina como (p) a la proyección de (p’) sobre el eje-x 3 Diremos que: (p) sigue un M.A.S.entre +A y –A 4 La coordenada “x” sobre la trayectoria rectilínea: p/2 coseno -1 1 p’ A j p p x jo = fase inicial (cuando t = 0) j0= representa en radianes la posición “xo” inicial v 3p/2 x(t) x=-A x= x=A Actividad-1: Suponiendo que la amplitud de una partícula (p) que sigue un MAS es de 5 m determina su posición inicial (cuando t = 0) si la fase inicial es de p/3 radianes. ¿Cuál será el sentido de movimiento de la partícula (p)?. Repite la actividad si la fase inicial fuera 5p/3 rad

5 Cálculo de la fase inicial en un MAS cuando se conoce su elongación inicial
Actividad-2: Completa la siguiente tabla, conocido x0: x0 (+A) 0→(-A) (-A) 0→(+A) j0(rad) Actividad-3: Determina la fase inicial de una partícula que sigue un MAS con una amplitud de 5 m si en el instante t = 0 ocupa: Una posición x0 = 1 m hacia (+A). (Sol: IV cuadrante rad) Una posición x0 = 1 m hacia (-A). (Sol: I cuadrante rad rad) Una posición x0 = -1 m hacia (+A). (Sol: III cuadrante rad) Una posición x0 = -1 m hacia (-A). (Sol: II cuadrante rad)

6 p/2 coseno p -1 1 3p/2 I cuadrante (+A → 0) x(t) x=-A x=0 x=A
-1 1 p Actividad-4: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = (+A) 3p/2 x(t) x=-A x= x=A

7 p/2 coseno p -1 1 3p/2 II cuadrante (0 → -A) x(t) x=-A x=0 x=A
-1 1 Actividad-5: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = 0 (sentido –A) p 3p/2 x(t) x=-A x= x=A

8 p/2 coseno p -1 1 3p/2 III cuadrante (-A→ 0) x(t) x=-A x=0 x=A
-1 1 Actividad-6: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = (–A) p 3p/2 x(t) x=-A x= x=A

9 p/2 coseno p -1 1 3p/2 IV cuadrante (0 → +A) x(t) x=-A x=0 x=A
-1 1 Actividad-7: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = 0(sentido +A) p 3p/2 Actividad-8: Representa la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = -A/2(sentido +A). Considera w = p rad/s y A = 5m. Calcula previamente j0 y representa “x” para los instantes: 0; T/8; 2T/8; 3T/8; 4T/8; 5T/8; 6T/8; 7T/8; 8T/8 x(t) x=-A x= x=A

10 Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)
Una partícula tiene un MAS si su elongación x cumple: Varía periódicamente entre los valores +A y -A Amplitud (máxima elongación) Equilibrio Fase (rad) Fase inicial (cuando t =0) Periodo (intervalo de tiempo para el que el valor de x se repite) Frecuencia (se mide en Hz) Frecuencia angular (rad/s)

11 v’ La velocidad v de una partícula que tiene un MAS es,
Varía periódicamente entre los valores A y -A La aceleración a de una partícula que tiene un MAS es, Varía periódicamente entre los valores 2A y -2A. En el MAS a es proporcional y opuesta a x. Aquí están representadas las gráficas v=f(t) y a=f(t) si para la elongación utilizamos la función “coseno” cuando en el instante t=0 la partícula vibrante se encuentra en (+A) Elongación Velocidad Aceleración T/4 T/2 3T/4 T +A -A Representación del desplazamiento en función del tiempo +Aw -Aw v’ +Aw2 -Aw2 Actividad-9: Representa las gráficas v=f(t) y a=f(t) si para la elongación utilizamos la función “seno” cuando en el instante t=0 la partícula vibrante se encuentra en 0 hacia (+A)

12 v a - wA + w2A - w2A + w2A - w2A + wA x(t) x=-A x=0 x=A
Magnitud y sentido de la velocidad y de la aceleración en función de la posición de la partícula vibrante. v a - wA + w2A - w2A x=-A x= x=A x(t) + w2A - w2A + wA

13 DINÁMICA DE UN M.A.S.

14 TRABAJO-ENERGÍA DEL M.A.S.
Actividad-10 a) Calcula el trabajo realizado por una fuerza constante “F” aplicada a una masa “m” cuando se desplaza una distancia “x”. Considera que “F” es paralela al desplazamiento. b) Representa F = f(x). ¿Se puede identificar el WF con el área definida entre “F” y el eje de abcisas?. ¿De qué figura geométrica se trata? F x Dr F F WF x x

15 x x FE Fext WF -kx x FE Actividad-11:
a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza elástica “FE = -kx ” aplicada a un muelle, cuando éste se deforma una distancia “x” desde su posición de equilibrio. Para ello, al tratarse de una fuerza variable, representa “FE =f(x) y determina el área comprendida entre “FE” y el eje de abcisas. b) Demuestra que la fuerza elástica es una fuerza conservativa; para ello, determina el trabajo realizado por la fuerza elástica al desplazarse ésta desde “0” a “x” y regresar nuevamente a “0” (Sol: Si WFciclo = 0→ FE es conservativa). c) Al ser la fuerza elástica una fuerza conservativa, determina la función energía potencial asociada a la misma. x x FE Fext WF -kx x FE

16 Actividad-12: Actividad-13 sobre (Sol: a) k = 763.64 N/m;
b) EP = J c) h = 0.73 m) (0.22 m) ( 6 m)

17 Principio conservación Energía Mecánica
-A A x(t) Energías E. POTENCIAL E. CINÉTICA E. MECÁNICA Principio conservación Energía Mecánica

18 Velocidad en función de la posición

19 El péndulo simple:  L -x
-La componente tangencial Px, actúa hacia la posición de equilibrio, en sentido opuesto al desplazamiento. -La componente tangencial de la fuerza de la gravedad es una fuerza de recuperación. -Un péndulo simple sigue un MAS si a<15º  L -x Py Px P El periodo de oscilación de un péndulo simple depende exclusivamente de la longitud de la cuerda al punto de fijación, y de la gravedad del lugar

20 Ejercicios: 14.-Un muelle de constante elástica 200 N/m, longitud natural 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente se engancha de su extremo libre una masa de 5 kg. Calcula la longitud final del muelle cuando el sistema esté en equilibrio. (Sol: x=24.5 cm) 15.- Un péndulo que bate segundos en París (TP = 2s) en donde gP =9.81 m/s2, se traslada al Ecuador, y en este punto verifica al día 125 oscilaciones menos. Calcula la longitud del péndulo. (Sol: cm) Calcula la aceleración de la gravedad en el Ecuador. (Sol: 9.75 m/s2) 16.- Un oscilador armónico formado por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilación de 2 s. Si la amplitud de las oscilaciones del oscilador es 10 cm, ¿cuánto vale, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad que alcanzará su masa.(Sol: Ep= J; v=0.314m/s). 17.- Una partícula de masa 2 kg efectúa un movimiento armónico simple de amplitud 1 cm. La elongación y la velocidad de la partícula en el instante inicial t = 0 s valen, 0.5 cm y 1 cm/s, respectivamente. a) Determina la fase inicial y la frecuencia del M.A.S.(Sol: jo=p/6 rad;; u=0.18 Hz) b) Determina la fuerza elástica en el instante 1,5 s.(Sol:F = N) c) Calcula la energía total del M.A.S. así como la energía cinética y potencial en el instante t = 1.5 s.(Sol: ET= J;;Ec= J;;Ep= J)

21 t(s) x(cm) v(cm/s) T/8 2T/8 3T/8 4T/8 5T/8 6T/8 7T/8 8T/8
18.-Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple: a) Escribe la ecuación del movimiento y la ecuación de la velocidad si la aceleración máxima es 5p2 cms-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2.5 cm, siendo el sentido del movimiento hacia (+A). b) Representa gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo, completando la siguiente tabla: (Salto = T/8 = 2/8 = 0.25 s) t(s) x(cm) v(cm/s) T/8 2T/8 3T/8 4T/8 5T/8 6T/8 7T/8 8T/8

22 19.-Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x = A cos ωt, con A = 0,1 m y ω = 2p s-1. a) Determina la velocidad de la partícula en función del tiempo. b) Calcula la energía mecánica de la partícula. en el instante t = T/3.(Sol J) c) Representa la elongación de m, la energía potencial de m y la fuerza elástica sobre m en función del tiempo. Considera t = T

23 20.-Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora vale 10 N/mm. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t). b) Los módulos de la velocidad y aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. 21.- Una partícula de 5 g de masa vibra con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 50 Hz. Calcular: a) La constante restauradora del sistema. b) La ecuación de la posición si en el instante inicial se encuentra en -A. c) La velocidad 0.1 s después de iniciado el movimiento. d) La velocidad de la partícula cuando se encuentra a + 2 cm con sentido de movimiento hacia elongaciones negativas. e) Representar la Ec, la Ep y la Em para medio periodo. 22.- Una persona de masa 60 kg que está sentada en el asiento de un vehículo, oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio como un oscilador armónico simple. Su posición inicial es y(0)=1.2cos(p/6) cm, y su velocidad inicial v(0)=-2,4sen(p/6) m/s. Calcula la ecuación de la elongación y(t) y la ecuación de la energía mecánica Em(t).

24 23.- Una partícula de 20 g oscila siguiendo un MAS:
Determina: a) Las ecuaciones de la aceleración y la ecuación de la elongación en función del tiempo. b) La Ec y la Ep en el instante t = T.(Sol: Ec = 9J;Ep = 0J).-

25 24.-Una bolsa con 2 kg de dulces cuelga de un muelle que se alarga 50 cm con esa carga, quedando el sistema en equilibrio a una altura de 1 m sobre la cabeza de un niño. Si el niño tira de la bolsa hacia abajo otros 25 cm y la suelta ¿cuánto tiempo tardará la bolsa en regresar a la altura de 1 m sobre su cabeza?.(Sol: 0.355s)

26 x=A·sen(wx t) y=A·sen(wy t+d )
Figuras de Lissajous -Las trayectorias del movimiento resultante de componer dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se denomina figuras de Lissajous. -Tales trayectorias dependen de la relación de frecuencias angulares wx/wy y de la diferencia de fase (d). x=A·sen(wx t) y=A·sen(wy t+d ) Dibujo Vídeo Fundamento teórico