SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables del sistema

Presentación del tema: "SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables del sistema"— Transcripción de la presentación:

1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables del sistema
Integrales SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables del sistema

2 Habilidades Representa puntos del plano en coordenadas polares.
Reconoce las diferentes formas de expresar un punto en coordenadas polares. Deduce la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar. Reconoce y grafica ciertas curvas notables en coordenadas polares.

3 Sistema de coordenadas Polares
Imaginemos que se quiere determinar el área de un placa delgada limitad por las ecuaciones:

4 Problema Una piscina tiene una sección que sigue el perfil de la región interior a la cardioide y exterior a la curva Si “ r ” está dado en metros, calcule la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina hasta una profundidad de 1,5m.

5 Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P
Emplea distancias y direcciones. r es la distancia de O a P. P (r, θ) θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP. r θ θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. Eje Polar Polo θ en radianes.

6 Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P
θ P(r,θ) r Cuando medimos en la dirección dada por θ, contraria al segmento OP, podemos escribir -r, luego Q(-r; θ) = Q(r; θ + Π) se define como el punto que se encuentra a r unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ. Q(-r,θ)

7 En coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones
x y 1 En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación. En coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones . 2 Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por

8 Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano
De la grafica observe que: Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x; y) de P serán: y x r P(x; y) P(r; θ) θ Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen las coordenadas polares. Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones Si x=0, el ángulo es Π/2 ó - Π/2, según sea y>0 ó y<0

9 Gráficas de Ecuaciones Polares
La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3 x2 + y2 = 9 1 2 3 4 5 6

10 Ejemplo: Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = p/4 y q = p/4 tan q= tan(p/4) q = p/2 q = p/4 q = 3p/4 x q = p q = 0 q = 7p/4 q = 5p/4 q = 3p/2

11 ¿La gráfica pasa por el polo?
Resuelve: f() = 0. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ). ¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo? r = 2 sen r = 2 + sen

12 (r ; q) (r ; -q) o q -q Simetría Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar o (-r ; q) (r ; q) Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. (r ; p-q) (r ; q) p - q -q Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

13 Algunas curvas polares comunes
Círculos Cardiodes En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

14 Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva
. Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva y dentro de la curva .

15 Calcula el área de la región interna a las curvas
y

16 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Ejercicios 10.3 Pág. 647 – 648: 2, 4, 6, 8, 16, 18, 24, 30 y 32.