ECUACIÓN LINEAL Cálculo de la pendiente de una recta

Presentación del tema: "ECUACIÓN LINEAL Cálculo de la pendiente de una recta"— Transcripción de la presentación:

1 ECUACIÓN LINEAL Cálculo de la pendiente de una recta
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2 Ecuación de la recta Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. y  - x  4 1 -1 2 3 4 5  L x y Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores Gráfico X Y (x, y) 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5) Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

3 Ecuación Principal de la Recta
Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0 Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal. Ecuación General 2x – y- 1 = 0 Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1 Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo -Y :-1 = (-2x + 1):-1 Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta. Donde: m = 2 n= -1 Importante Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

4 ¿Qué es la Pendiente en una recta?
Pero ¿Qué son m y n ? En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1) x y 1 2 3 ¿Qué es la Pendiente en una recta? ¿Dónde se aplica la Pendiente de una recta? ¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?

5 ENTONCES CONCLUYENDO Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir: (x2 , y2) y2 – y1 y2 – y1 m = x2 – x1 (x1 , y1) x2 – x1 kairoseduca.jimdo.com

6 Cálculo de la pendiente de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2). x y P2(x2; y2) y=y2 - y1 P1(x1;y1) x=x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1 m =

7 Ejemplo 1 Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14) x1 y1 x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 12 y2 – y1 14 – 2 m = = = = 6 2 x2 – x1 9 – 7 Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca.jimdo.com

8 Ejemplo 2 Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3) x1 y1 x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 -4 y2 – y1 -3 – 1 -2 m = = = = 14 x2 – x1 7 9 – (-5) Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca.jimdo.com

9 Ejemplo 3 Encuentre la pendiente de la recta graficada en el siguiente plano: En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta (0,4) ( 0 , 4 ) y ( 5 , 0) x1 y1 x2 y2 (5,0) Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 y2 – y1 0 – 4 -4 m = = = x2 – x1 5 5 – 0 Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca.jimdo.com

10 Ejemplos Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos: A(-6; 1) y B(1; 2) C(-1; 4) y D(3; 1) E(3; 2) y F(8; 2) G(2; 1) y H(2; -3)

11 VERIFICAMOS LO OBTENIDO
y mCD = -3/4 mAB = 1/7 mEF = 0 x mGH = ¿?

12 E J E R C I C I O S I) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A) (3 , -6) y (-2 , -2) B) (7 , -9) y (0 , -1) C) (-3 , -4) y el origen D) (3 , -4) y ( 2 , -6) II) Encuentre la pendiente de la recta graficada en los siguientes planos: A) B) kairoseduca.jimdo.com

13 Conclusiones Si m>0 la recta l es creciente Si m<0 la recta l es decreciente Toda recta horizontal tiene m = 0 Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

14 Ejemplo: Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991 por $ En 1994, él lo vendió a un amigo en $ Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio de venta del automóvil y el año en que se vendió. Determine e interprete la pendiente.

15 y - y1 = m(x - x1) (x1, y1) Ecuación de la recta 1.
La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es: X Y y - y1 = m(x - x1) (x1, y1)

16 y = mx + b b Y X Ecuación de la recta 2.
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es: X Y b y = mx + b

17 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ecuación de la recta 3. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La gráfica de una ecuación lineal: Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. Ax + By + C = 0

18 Ejercicios: (Prob 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3. 2. (Prob 13) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4). 3. (Prob 30) Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3. 4. (Prob 15) Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

19 y = b x = a RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL recta recta // ecuación
horizontal al eje X y = b a b y = b x = a recta recta // ecuación vertical al eje Y x = a

20 Formas de la ecuación de una recta:
En resumen: Formas de la ecuación de una recta: Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1) Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen Forma general Ax + By + C = 0 Recta vertical x = a Recta horizontal y = b

21 Rectas paralelas Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma pendiente o si ambas son verticales . Es decir: m1 = m2

22 Rectas perpendiculares
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Es decir: Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí. m1 . m2 = -1

23 Ejercicios: Determine la ecuación de la recta que satisfaga: (Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.

24 Ejercicios: Problemas de la pag. 134 -135: 11, 15, 32, 49, 58, 59, 62.
PC1 UPC : Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y es perpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C? PC1 UPC : ¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?

25 WEBGRAFÍA Adaptado de: www.salesianosalameda.cl
beta.upc.edu.pe/matematica/.../Clase% kairoseduca.jimdo.com