Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Presentación del tema: "Ecuaciones diferenciales ordinarias."— Transcripción de la presentación:

1 Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Clase 15 Ecuaciones diferenciales ordinarias.

2 Todos los organismos vivos absorben carbono radiactivo, forma inestable de carbono que tiene una vida media de unos años. Durante su vida, un organismo renueva de forma continua su provisión de radiocarbono al respirar y al comer. Tras su muerte, el organismo se convierte en un fósil y el carbono 14 decae sin ser reemplazado. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil. Enciclopedia Microsoft® Encarta® © Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Cultura Mochica

3 Modelo para el movimiento de un resorte.

4 Crecimiento de una población Experimentalmente puede comprobarse que:
La disciplina que estudia la población se conoce como demografía y analiza el tamaño, composición y distribución de la población, sus patrones de cambio a lo largo de los años en función de nacimientos, defunciones y migración, y los determinantes y consecuencias de estos cambios. El estudio de la población proporciona una información de interés para las tareas de planificación (especialmente administrativas) en sectores como sanidad, educación, vivienda, seguridad social, empleo y conservación del medio ambiente. Estos estudios también proporcionan los datos necesarios para formular políticas gubernamentales de población, para modificar tendencias demográficas y conseguir objetivos económicos y sociales. Enciclopedia Microsoft® Encarta® © Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Crecimiento de una población Experimentalmente puede comprobarse que: La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es proporcional a la población presente en dicho instante. Inmediatamente podemos escribir donde k>0 es una constante de proporcionalidad

5 Desintegración radiactiva
Si x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el instante t de tiempo entonces la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia que se desintegra. La EDO que rige este fenómeno físico es donde k<0 es la constante de desintegración que varia de una sustancia a otra.

6 Ejemplo 1 Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t=1h, la cantidad medida de bacterias es Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.

7 Ejemplo 2 Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, A0 , de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. Ejemplo 3 Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil.

8 Razón de Entrada de la sal Razón de Salida de la sal
MEZCLA Razón de Entrada de la sal Razón de Salida de la sal 2 lb/g 300 g A(t): Denota la cantidad de sal

9 Trayectorias ortogonales.

10 Definición Dada una familia uniparamétrica de curvas del plano F(x,y,C)=0 se dice que la familia G(x,y,C)=0 es una familia de trayectorias ortogonales de la otra si todas las curvas de una se cortan ortogonalmente con todas las curvas de la otra.

11 Ejemplo 4 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia x2+y2=2Cx Derivando se obtiene 2x+2yy’=2C y sustituyendo C en la expresión original, tenemos x2+y2=2x(x+yy’) o y’=(y2-x2)/2xy, que evidentemente se trata de EDO homogénea

12 Ejemplo x2+y2=2Cx