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Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento En el electromagnetismo uno puede trabajar con las leyes de Maxwell y los campos eléctrico E y.

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1 Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento En el electromagnetismo uno puede trabajar con las leyes de Maxwell y los campos eléctrico E y magnético B, o bien con los llamados potenciales escalar y vectorial, de los cuales es posible derivar E y B. En este capítulo se usa el enfoque de los potenciales escalar y vectorial y luego se deriva de ellos E y B. También se usa la propiedad de la Delta de Dirac:

2 Capítulo 3. Radiación producida por cargas en movimiento Velocidad: Densidades de carga y corriente: Carga total y corriente total: Usando la expresión para el potencial retardado, Considere partícula con carga q, moviéndose a lo largo de la trayectoria 1. Potenciales retardados.

3 y las propiedades de la función, Reemplazando la expresión (1) e integrando en r, Haciendo el cambio de variables: donde podemos escribir En forma similar se encuentra que

4 Note que el argumento de la función se anula para t'=t ret dado por c(t-t ret )=R(t ret ). Por otro lado de la relación donde tenemos Definiendopodemos escribir Haciendo el cambio de variables:

5 La integral se puede evaluar haciendo t''=0, o equivalentemente t'=t ret, donde En forma análoga se demuestra que Estos son los potenciales de Lienard-Wiechert.

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7 Difieren de los potenciales electromagnéticos estáticos en dos formas: 2. Campos electromagnéticos debidos a cargas en movimiento Diferenciando los potenciales se encuentra que: y El factor tiende a concentrar los potenciales en un angosto haz alrededor de la velocidad de la partícula, especialmente cuando la velocidad tiende a la de la luz. Los potenciales están evaluados en el tiempo retardado. En ese instante la partícula tiene una velocidad: Para encontrar los campos en (r,t) debemos determinar la posición y el tiempo retardados de la partícula:

8 El segundo término es proporcional a la aceleración de la partícula y perpendicular a n, se denomina campo de aceleración. Decae como 1/R, y es el que hace posible que una partícula emita radiación. Note que los vectores E, B, y n forman una triada de vectores mutuamente perpendiculares y que: El primer término del campo eléctrico se denomina campo de velocidad. Decae como 1/R 2 y es la generalización de la ley de Coulomb para partículas en movimiento. Campo de radiación:

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10 3. Radiación de un sistema de partículas no relativistas. La razón entre las magnitudes de los campos de radiación y de velocidad es: Si la partícula tiene una frecuencia de oscilación característica (o bien nos enfocamos en la componente de Fourier a la frecuencia ), entonces: Dentro de la zona cercana, R, el campo de velocidad es mas intenso que el campo de radiación (factor c/u). Para partículas no relativistas: En la zona lejana, R >> (c/u), el campo de radiación domina, con su dominio relativo creciendo linealmente con R.

11 Fórmula de Larmor La magnitud de los campos es: El vector de Poynting está en la dirección n y tiene por magnitud: La energía dW emitida por unidad de tiempo, en el ángulo sólido d, en la dirección n es igual a S multiplicado por dA=R 2 d, Cuando <<1, los campos de radiación se pueden simplificar a : donde es el ángulo entre el vector aceleración y la dirección n.

12 Integrando sobre el ángulo sólido, tenemos que la potencia total emitida es: Fórmula de Larmor para la emisión producida por una partícula acelerada. Potencia emitida es al cuadrado de las cargas y de la aceleración. Radiación es dipolar ( sin 2 ). No hay radiación a lo largo de la dirección de la aceleración y el máximo es emitido en la dirección Características:

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15 Clase 9. Espectro de la radiación E( ) contiene toda la información acerca del comportamiento en frecuencias de E(t). E( ) es una función compleja. El inverso de esta relación es: Se puede hablar del espectro de la radiación solo si conocemos las características del campo eléctrico sobre un intervalo de tiempo t. Consideremos que la radiación tiene la forma de un pulso finito. Podemos entonces expresar E(t) en términos de una integral de Fourier: El espectro de la radiación depende de la variación temporal del campo eléctrico.

16 Lo que queremos determinar es la distribución en frecuencia de la energía. Ya que E(t) es una función real se tiene que: La energía total por unidad de área emitida por el pulso es, entonces La energía por unidad de tiempo y area es:

17 Usando el teorema de Parseval para las transformadas de Fourier y que |E( )| 2 = |E(- )| 2, Podemos identificar la energía por unidad de área y unidad de frecuencia como: Note que esta expresión es válida solo para el pulso completo. Solo si el pulso se repite en una escala de tiempo T, podemos formalmente escribir:

18 Espectro de la radiación en el caso de la aproximación dipolar. Por simplicidad supongamos que el vector d yace en una sola dirección, de manera que De la transformada de Fourier de d(t), tenemos que, y por lo tanto En la aproximación dipolar tenemos que,

19 Usando la expresión anterior y la relación dA=R o 2 d, tenemos que la energía por unidad de ángulo sólido y frecuencia es, y por lo tanto, El espectro de la radiación dipolar está directamente relacionado con la frecuencia de oscilación del momento dipolar.

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21 Dispersión de Thomson. donde denota la dirección del campo eléctrico. En términos del momento dipolar, d=er, tenemos, Este proceso físico se produce debido a que las cargas libres radían en respuesta a una onda electromagnética. Por lo tanto, Despreciando las fuerzas magnéticas, la fuerza ejercida en un electrón por una onda monocromática linealmente polarizada es:

22 La potencia por unidad de ángulo sólido, promediada en el tiempo, es: Definiendo d como la sección eficaz diferencial de dispersiones en el ángulo d, tenemos donde es el flujo incidente. expresión que describe un dipolo oscilante con amplitud:

23 donde r o provee una medida del tamaño de una carga puntual. Para un electrón r o =2.8x cm. Las secciones eficaces diferenciales y totales son independientes de la frecuencia. La sección eficaz total es, la dispersión de Thompson es igualmente efectiva en todas las frecuencias.

24 La dispersión de Thomson es válida mientras el fotón tenga una energía menor que la energía en reposo del electrón, 511 keV. Para altas energías del fotón hay que pasarse a la dispersión de Compton. La radiación dispersada está linealmente polarizada en el plano de la radiación incidente y la dirección de la dispersión n.

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27 Se puede encontrar la sección diferencial de dispersión para un haz de radiación sin polarizar y demostrar que la radiación dispersada queda polarizada en algunas direcciones. Para esto se considera que el haz sin polarizar puede representarse como la superposición de dos haces linealmente polarizados que están perpendiculares.

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29 La componente polarizada debida a 1 es sen 2 = cos 2 La componente polarizada debida a 2 es 1 Las dos componentes anteriores son perpendiculares entre sí de modo que I max = 1 y I min = cos 2 Usando la definición de polarización: = (I max – I min )/(I max + I min ) = (1 - cos 2 cos 2

30 La dispersión de Thomson de radiación sin polarizar tiene las siguientes características: Simetría para adelante y para atrás (+- La sección recta total es la misma que para la radiación polarizada El grado de polarización de la radiación dispersada depende del ángulo con polarización de 0% en la dirección del haz incidente y de 100% en la dirección perpendicular.

31 Radiación producida por partículas ligadas. 2. Radiación de partículas ligadas armónicamente. Fuerza de reacción a la radiación: 1. Fuerza de reacción a la radiación. La energía radiada por una carga acelerada debe provenir de la energía de la partícula o del agente que mantiene la energía de la partícula. Una partícula ligada mediante una fuerza armónica, F=-kx, oscilará sinusoidalmente con una frecuencia natural o = k/m. existe una fuerza que actúa en la partícula en virtud de la radiación que ésta produce.

32 Debido a la fuerza de reacción las oscilaciones no son totalmente armónicas, produciéndose un pequeño amortiguamiento. La ecuación de movimiento es: Supongamos que <<1, de manera que la ecn.(1) es válida.

33 … Debido a que el término que involucra a x es pequeño, en un primer orden tenemos que el movimiento es armónico: Usando esta expresión, el término de amortiguamiento se puede aproximar por de manera que la ecn.(2) se puede escribir como Este tipo de ecuaciones tiene soluciones del tipo x(t) e t, donde se determina de la condición:

34 y ya que <<1,. Tomando como condiciones iniciales x(0)=x 0 y x(0)=0, donde

35 Para determinar el espectro de la radiación debemos calcular la transformada de Fourier de x(t): eencontrándose que La energía radiada por unidad de frecuencia es entonces: Espectro típico de un oscilador que decae. Tiene un máximo agudo en = o, ya que / o <<1.

36 Usando la definición de y k m o 2 (constante del resorte), tenemos que donde 1/2 kx o 2 es la energía potencial de la partícula. se conoce como perfil de Lorentz. Integrando sobre todas las frecuencias se obtiene que W=1/2 kx o 2. El perfil del espectro emitido:

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38 Oscilaciones forzadas debido a la presencia de un haz de radiación. La solución de esta ecuación es: La ecuación de movimiento de un electrón ligado en presencia de un campo electromagnético sinusoidal E=Eoe i t es donde y

39 La potencia total radiada, promediada en el tiempo, es: La sección eficaz de dispersión en función de la frecuencia es: donde Casos particulares: 1) Para >> o : ( ) T el valor para los electrones libres. El flujo de energía incidente es Interpretación: a altas energías incidentes el amarre es despreciable.

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41 2) Para << o : ( ) T ( / o ) 4 El campo eléctrico aparece como casi-estático. Dispersión de Rayleigh. y reemplazando por o, excepto en ( - o ), tenemos 3) o. Este caso está dominado por la cercanía del factor 2 - o 2 a cero. Escribiendo donde Γ= o 2 τ.

42 Usando las definiciones de σ T y τ, tenemos que En la vecindad de la resonancia la forma de la sección eficaz de dispersión es la misma que para la emisión de las oscilaciones libres del oscilador.

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