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Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ecuaciones Diferenciales Curso Propedéutico Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica:

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1 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ecuaciones Diferenciales Curso Propedéutico Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica: Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica: Opciones sistemas Eléctricos y Sistemas de Control

2 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Contenido Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales de primer orden Solución geométrica Solución geométrica Métodos de solución analítica Métodos de solución analítica Variables separadas Variables separadas Variables separables Variables separables Homogéneas Homogéneas Lineales Lineales Ecuación de Bernoulli Ecuación de Bernoulli Ecuación de Riccati Ecuación de Riccati Ec. Dif. Exacta Ec. Dif. Exacta Factor integrante Factor integrante Teorema de existencia y unicidad Teorema de existencia y unicidad Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1 Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1

3 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Introducción ¿Qué es una ecuación diferencial? Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial

4 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejemplos de ecuaciones diferenciales 1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la figura 1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la figura to R C v(t) Vs(t)

5 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejemplos de ecuaciones diferenciales 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente T a 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente T a Donde K es el coeficiente dde transmisión de calor que depende del material

6 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejemplos de ecuaciones diferenciales 3) El movimiento de un péndulo simple está gobernado por la ecuación Donde m

7 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejemplos de ecuaciones diferenciales 4) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva que refleja en forma paralela los rayos que salen de un punto fijo en el origen cumplen con 4) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva que refleja en forma paralela los rayos que salen de un punto fijo en el origen cumplen con xy

8 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejemplos de ecuaciones diferenciales Otros Ejemplos: Ecuación lineal de primer orden: Ecuación de Riccati: Por ejemplo: Ecuación de Van der Pol: Segunda Ley de Newton: Etc…

9 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Clasificación General Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Cuando no contiene derivadas parciales. En general tiene la forma: F(x,y,y,y,...,y (n) )=0 Establece la dependencia de la variable y respecto a una sola variable independiente x.

10 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Clasificación General Ecuación diferencial Parcial (EDP). Cuando contiene derivadas parciales. En este caso representa la dependencia de una variable respecto a varias variables independientes. Por ejemplo, la siguiente ecuación describe la dependencia de r respecto de x, y y z.

11 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Clasificación General EDO de orden n.- El orden de derivación más alto que aparece en la ecuación es n. EDO de primer orden.- Cuando n=1. En este caso, la forma general es F(x,y,y)=0 A la forma y=f(x,y) Se le denomina resuelta respecto a la derivada. Ejemplo: la ecuación de Riccati es de segundo grado, pero de primer orden

12 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Clasificación General EDO Lineal. Es una ODE que se puede escribir en la forma: Donde los coeficientes a 0 (x),...,a n (x), f(x) son funciones de x. De lo contrario se dice No Lineal. Lineal Homogénea.- El término independiente f(x) es nulo. Lineal con coeficientes constantes.- Los coeficientes a 0 (x),...,a n (x) son constantes. Lineal con coeficientes variables.- Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a 0 (x),...,a n (x) NO es constante.

13 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Clasificación General Ejemplos: ¿Lineales o No lineales? 1) 2) 3) 4) 5) 6)

14 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Solución de una ED La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y,y,...,y (n) )=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones son soluciones de la ecuación del ejemplo (4). La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED

15 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Solución de una ED x y Familia de funciones dadas por:

16 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Solución de una ED Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de T a =15°C ? c) Dibujar la familia de curvas solución para diferentes temperaturas iniciales T 0 de la taza de café.

17 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye La ED como Campo Vectorial La ecuación diferencial de primer orden resuelta respecto a la derivada: establece una dependencia entre las coordenadas (x,y) de un punto y la pendiente de la curva solución y(x) que pasa por ese punto.

18 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye La ED como Campo Vectorial Ejemplo: la ecuación nos dice que a lo largo de la curva x 2 + y 2 = 1, las curvas solución de la ecuación tienen pendiente 1, es decir, cruzan la circunferencia de radio 1 con un ángulo de 45°. Ver la figura siguiente

19 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye La ED como Campo Vectorial

20 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Método de las Isoclinas Dando valores constantes K a la derivada, podemos encontrar las curvas f(x,y)= K en donde las soluciones pasan con un mismo ángulo de inclinación. A estas curvas se les llama isoclinas. Para el ejemplo corresponden a x 2 +y 2 =K, son circunferencias de radio y centro en el origen.

21 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Método de las Isoclinas Las isoclinas facilitan el trazado del campo de direcciones y por lo tanto el de las soluciones de la ED.

22 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Método de las Isoclinas Tarea: a) Encontrar la ecuación de las isoclinas para la ecuación diferencial b) ¿Qué tipo de curvas son estas isoclinas? c) Dibujar las isoclinas y con ayuda de éstas dibujar el campo de direcciones y algunas curvas solución.

23 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Métodos de Solución Analítica NO existe un método general para resolver EDs, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica. Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.

24 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Métodos de Solución Analítica El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver. Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido

25 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Métodos de Solución Analítica Si no funciona lo anterior, algunas alternativas consisten en buscar soluciones: Basadas en Series Numéricas Geométricas

26 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Separación de variables La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

27 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Separación de variables La ED de la forma Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

28 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando Reescribiendo x 2 +y 2 = c 2

29 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Separación de variables Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a variables separables, por ejemplo cuyo campo vectorial es función de una combinación lineal de x e y: Haciendo el cambio z=ax+by, se obtiene:

30 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Separación de variables Ejemplo: La ecuación Se puede reescribir como Donde z=x+y. Integrando se obtiene Regresando a las variables originales:

31 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Homogéneas de 1 er orden Las ED de la forma Se denominan Homogéneas. Haciendo el cambio de variable z = y/x, se convierten a la siguiente ED de variables separables:

32 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Homogéneas de 1 er orden Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado k si f(tx,ty)=t k f(x,y) Ejemplo: f(x,y)=xy 2 +3x 3 es homogénea de grado 3 Si f(x,y) es homogénea de grado cero entonces Entonces, la ED es Homogénea si f(x,y) es homogénea de grado cero.

33 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Homogéneas de 1 er orden Ejemplo: La función Es homogénea de grado cero y se puede escribir como: Por lo tanto la ED Se puede transformar en la ED con variables separables Donde z=y/x.

34 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Homogéneas de 1 er orden Las ED de la forma donde a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 y c 2 son constantes Se convierten a homogéneas haciendo el cambio X=x-x 0, Y=y-y 0 donde (x 0,y 0 ) es el punto de intersección de las rectas a 1 x+ b 1 y+ c 1 =0 y a 2 x + b 2 y + c 2 =0. Ejemplo: La ED Haciendo el cambio X=x-1, Y=y-1 se convierte en la ED homogénea

35 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Lineales de 1 er orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales, ya que su solución cumple con el Principio de Superposición respecto al término independiente q(x). Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir, donde

36 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED Lineales de 1 er orden Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es Donde Si Vs(t)=1, se obtiene: Por lo tanto

37 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED de Bernoulli La ED de la forma Se denomina Ecuación de Bernoulli. Introduciendo el cambio de variable La ecuación de Bernoulli se transforma en La cual es una ED lineal.

38 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED de Riccati La ED de la forma Se denomina Ecuación de Riccati. Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de Bernoulli si se conoce una solución particular y 1 (x). mediante el cambio de variable y=y 1 +z. La ecuación de Riccati se transforma en La cual es una ED de Bernoulli.

39 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED de Riccati Ejemplo: La ecuación Es una ED de Riccati, la cual tiene la solución particular Haciendo el cambio y=y 1 +z, obtenemos La cual es de Bernoulli. Haciendo ahora el cambio u=z -1, obtenemos: La cual es lineal. La solución de la homogénea es, variando el parámetro c: De donde por lo tanto Entonces. Finalmente, en las variables originales

40 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED exactas La ecuación de la forma tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: En tal caso y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x: y se puede determinar c(y) derivando

41 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye ED exactas Ejemplo: La siguiente ED Es exacta puesto que Integrando respecto a x Es decir, Derivando respecto a y De donde Finalmente la solución general es

42 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Factor Integrante En algunas ocasiones es posible multiplicar la ecuación por un factor (x,y), de manera que se convierta en una diferencial exacta, es decir, de manera que Entonces se dice que es (x,y) un factor integrante. La condición de Euler toma la forma: De donde

43 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Factor Integrante La anterior es una EDP más difícil de resolver que la ED original. Solo en algunos casos se simplifica: Caso = (x).- En este caso la EDP toma la forma Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de x Caso = (y).- En este caso Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de y

44 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Factor Integrante Ejemplo: Para la siguiente ED Entonces Por lo tanto Así obtenemos la ecuación diferencial exacta:

45 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Factor Integrante Tarea: Demostrar que en efecto Es una ED exacta y obtener su solución general.

46 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Teorema de existencia y unicidad Uno de los aspectos que suelen olvidarse antes de intentar la solución de una ED es preguntarse primero si existe la solución y en caso de existir, si esta es única. La respuesta la da el siguiente teorema: ¿Siempre existe solución y es única?

47 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Teorema de existencia y unicidad Si en la ED, se cumplen las condiciones: 1) (Existencia): f(x,y) es continua en un rectángulo D centrado en (x 0,y 0 ). 2) (Unicidad): En este rectángulo satisface la Condición de Lipschitz para un L finito: Entonces existe una solución única y=f(x) de la ED dentro de un rectángulo D 1 D centrado en (x 0,y 0 ): que satisface la condición inicial y(x 0 )=y 0

48 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Teorema de existencia y unicidad La condición de Lipschitz se puede sustituir por otra condición más burda, pero más fácil de verificar: Que exista la derivada en el rectángulo D.

49 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Teorema de existencia y unicidad Ejemplo: La siguiente ED Cumple con la condición de existencia en todo el plano 2, sin embargo, si checamos la condición de Lipschitz Se cumple en todo el plano 2, excepto en la recta solución y=0, sobre la cual existe otra solución. Tarea: Encontrar las otras soluciones que tocan a la recta y=0 en cada punto de ella. Representarlas en una gráfica.

50 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejercicios Ejemplo: Método de las Isoclinas

51 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejercicios Ejemplo: Convertir a variables separables

52 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejercicios Ejemplo: Convertir a variables separables

53 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejercicios Ejemplo: Convertir a variables separables

54 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Ejercicios Ejemplo: Convertir a variables separables

55 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Teorema de existencia y unicidad Ejemplo: ¿Qué tipo de ED son las siguientes?

56 Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón Pasaye Teorema de existencia y unicidad Ejemplo: ¿Son ED exactas?


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