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1 Unidad 3: La antiderivada Ecuaciones diferenciales: Variables separables.

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1 1 Unidad 3: La antiderivada Ecuaciones diferenciales: Variables separables

2 2 De la frase: La rapidéz con que cambia el ingreso respecto al tiempo es proporcional al tiempo ¿Qué característica se presenta en esta ecuación? Razonemos juntos A este tipo de ecuación, donde aparece la derivada de una función desconocida, se le llama ecuación diferencial. ¿Cómo expresa la siguiente afirmación en términos de derivadas?

3 3 Es aquella ecuación que implica una derivada o un diferencial, por ejemplo: Ecuación Diferencial

4 4 Definición: Solución de una Ec. Diferencial es una función en forma explícita o implícita que satisface la ecuación. Una caracterización completa de todas las soluciones posibles de la ecuación se denomina solución general, y una solución que satisface las condiciones alternas especificadas se denomina solución particular. Solución de una ecuación diferencial

5 5 Ejercicios: Compruebe que las funciones son soluciones de la ecuación diferencial correspondiente: 1. y = x 3 – x 2 + c ; y´ = 3x 2 – 2x 2. y = (3x 2 + 3c) 1/3 ; y´ = 2x/y 2 3. y = 4000 – Be -0,2x ; y´ = 0,20(4000 – y)

6 6 El tipo más sencillo de E. D. tiene la forma: Ejemplo 1 Halle la solución general de la ecuación diferencial y la solución particular que satisface y = 2 cuando x = 1. Caso Sencillo

7 7 Una ecuación diferencial se dice que es de variable separable si puede escribirse de la forma: La solución general se obtiene integrando en ambos miembros de esta ecuación, es decir, E. D. de variables separables

8 8 Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales: Ejemplo a. b. c. d.

9 9 Halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales: Ejercicios: a. b. c.

10 10 El valor de reventa de cierta máquina industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón que depende de la edad de la máquina. Cuando la máquina tiene x años, la razón a la cual cambia su valor es 220(x-10) dólares al año. Exprese el valor de la máquina como función de la edad y el valor inicial. Si la máquina costaba originalmente US$12,000. ¿Cuánto costará cuando tenga 10 años? Problema 1

11 11 Un capital K gana interés que se componen continuamente y además continuamente también se le está inyectando una cantidad I(t), de manera que la rapidez de crecimiento de K está dada por: Resuelva la ED suponiendo que Problema 2

12 12 Problema 3 En cierta zona, 1500 pequeñas empresas están en peligro de quiebra. Suponga que la razón de cambio en el número de quiebras es el 6% del número de pequeñas empresas que no han quebrado aún. Si 100 empresas quebraron inicialmente, ¿cuántas quebrarán en 2 años? Para mas ejercicios, ver la guía del alumno.


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