Formas canonicas de sistemas LTI

Presentación del tema: "Formas canonicas de sistemas LTI"— Transcripción de la presentación:

1 Formas canonicas de sistemas LTI
Sistemas dinamicos Formas canonicas de sistemas LTI

2 Contenido La forma canonica diagonal
Transformacion de coordenadas y controlabilidad Transformacion de coordenadas y observabilidad Descomposicion canonica controlable Descomposicion canonica observable Descomposicion canonica

3 La forma canonica diagonal

4 La forma canonica diagonal
Sean 1, 2,  + j, y   j los valores propios de A y v1, v2, v3, v4, los vectores propios correspondientes. Definiendo Entonces tenemos

5 La forma canonica diagonal
Aplicando la siguiente transformacion de similaridad a la matriz diagonal J

6 Transformacion de coordenadas y controlabilidad

7 Cambio de coordenadas y controlabilidad
Sea el par (A,B) controlable Rango completo La controlabilidad es una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

8 La clase de los los sistemas controlables
Se sabe que para todo par (A,B) controlable entonces la matriz de controlabilidad Q es de rango completo. ¿Existe una forma simple unica que represente a todos los sistemas controlables? La respuesta es SI

9 Forma canonica del controlador
Si el par (A,B) es controlable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad como se demuestra a continuacion

10 Forma canonica del controlador
, En virtud de la suposicion de controlabilidad, la matriz de controlabilidad Q es no singular y entonces existe un unico vector fila h el cual resuelve la ecuacion lineal con

11 Forma canonica del controlador
Definiendo la matriz no singular Para demostrar que T es una matriz no singular, observese la matriz

12 Forma canonica del controlador
Ya que por suposicion Q es no singular, entonces T es tambien no singular y z = Tx es una transformacion de coordenadas lineal

13 Forma canonica del controlador
Por el teorema de Caley-Hamilton Sea el polinomio caracteristico de la matriz A:

14 Forma canonica del controlador
¿Pero que nos dice realmente esta estructura? Bien, definamos una variable escalar x = x1 y con, Entonces, notamos que, La ecuacion matricial se reduce a la ecuacion escalar

15 ESTO ES IMPORTANTE Entonces, cuando estudiamos el sistema lineal SISO controlable podemos hacer siempre un cambio de coordenadas que convierta al sistema en uno de orden n cuya variable de estado es un escalar  Tambien es claro que si, en forma inversa, uno comienza con un sistema escalar de orden n uno puede llevarlo a la forma (A,B,C,D) con el par (A,B) en la forma canonica del controlador. (A,B,C,D) sistema escalar de orden n sistema escalar de orden n (A,B,C,D)

16 Otras formas canonicas controlables
Existen otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B). La forma canonica de controlabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky:

17 Otras formas canonicas controlables
Investigar otras formas canonicas alternativas para el par controlable (A,B).

18 Transformacion de coordenadas y observabilidad

19 Cambio de coordenadas y observabilidad
Sea el par (A,C) observable Rango completo La observabilidad una propiedad invariante frente al cambio de coordenadas

20 Forma canonica del observador
Si el par (A,C) es observable entonces existe una transformacion de coordenadas T con la propiedad

21 Forma canonica del observador
Manipulando las ecuaciones del sistema en la forma canonica del observador es posible llegar a la siguiente expresion: Asi, un sistema observable puede ser llevado a la forma de una ecuacion diferencial para la salida en terminos de la entrada y sus derivadas. donde bn esta definido por D = [bn].

22 Otras formas canonicas observables
Una forma alterna de la forma canonica del par observable (A,C) es la forma canonica de observabilidad o forma canonica primera de Luenberger-Brunovsky.

23 Otras formas canonicas observables
Investigar otras formas canonicas alternativas para el par observable (A,C).

24 Descomposicion canonica controlable

25 Descomposicion canonica controlable
Si el par (A,B) no es controlable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

26 Descomposicion canonica controlable
Sea rank[Q] = p < n, y sean: U1 una matriz de nxp cuyas columnas formen una base para el espacio columna de Q , y U2 una matriz nx(n-p) cuyas columnas con las de U1 formen una base para Rn, es decir el espacio columna de [U1 U2] = Rn. Sea la transformacion de estado [U1 U2]z = x, Demostracion

27 Descomposicion canonica controlable
Por construccion, U1 es A-invariante, y [U1 U2] es una base en Rn, entonces, existen matrices , tal que Por lo tanto, Demostracion

28 Descomposicion canonica controlable
Por construccion, U1 contiene a B, entonces, existe una matriz B1 pxm tal que B = U1B1 o, Por lo tanto, Forma controlable de Kalman LQQD

29 El subsistema controlable
es controlable. Es decir, Esto resulta de la forma como se construyeron las matrices A11 y B1

30 La funcion de transferencia
La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable Esto implica que solo el subsistema controlable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

31 La funcion de transferencia
Demostracion: La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema controlable Demostracion

32 Ejemplo

33 Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia
Ejemplo Esta ecuación es controlable y tiene la misma matriz de transferencia

34 Descomposicion canonica observable

35 Descomposicion canonica observable
Si el par (A,C) no es observable, entonces existe una matriz invertible T y un entero positivo p < n, con la propiedad de que

36 El subsistema observable
es observable. Es decir, Esto se puede deducir de la dualidad Demostracion

37 La funcion de transferencia
La funcion de transferencia del sistema completo es la funcion de transferencia del subsistema observable Esto implica que solo el subsistema observable afecta la relacion de entrada-salida (IO) del sistema original

38 Descomposicion canonica

39 Descomposicion canonica
Idea: Aplicar la descomposición controlable Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable Sistema:

40 Primer paso Aplicar la descomposición controlable

41 Paso 2 Aplicar la descomposición observable al subsistema controlable

42 Paso 3 Aplicar la descomposición observable al subsistema no controlable

43 La descomposicion canonica
Propiedades de la descomposicion canonica: El sistema es controlable y observable Las dimensiones de los bloques no cambian Las propiedades de los modos no cambian

44 La descomposicion canonica

45 La descomposicion canonica
Resumen 1) 2) G(s) es invariante bajo la transformacion de estado del subsistema controlable y obserbable

46 La descomposicion canonica
Resumen 3) Los subsistemas controlable y observable son la esencia de la dinamica del sistema 4) es el descriptor de orden minimo de la funcion de transferencia

47 Fuentes A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007 Marino and Tomei, “Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive, & Robust”, Prentice-Hall, 1995.

48 FIN