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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales CAPÍTULO 10.

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1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales CAPÍTULO 10

2 Contenidos 10.1 Teoría Preliminar 10.2 Sistemas Lineales Homogéneos 10.3 Resolución por Daigonalización 10.4 Sistemas Lineales No Homogéneos 10.5 Matriz Exponencial

3 10.1 Teoría Preliminar Introducción Recuerde que en la Sec 3.11, tenemos el siguiente sistema de ED: (1)

4 También tenemos la forma normal (2)

5 Sistemas Lineales Cuando (2) es lineal, tenemos la forma normal como (3)

6 Sistemas en Notación Matricial Si permitimos que sea entonces (3) se transforma en (4) Si es homogéneo, (5)

7 Ejemplo 1 (a) Si, la forma matricial de es

8 (b) Si, la forma matricial de es

9 Un vector solución en un intervalo I es cualquier Matriz columna cuyos elementos son funciones diferenciables que Satisfacen el sistema (4) en el intervalo. DEFINICIÓN 10.1 Vector Solución

10 Ejemplo 2 Compruebe que en (, ) son soluciones de (6)

11 Ejemplo 2 (2) Solución De tenemos

12 Problemas de Valor Inicial (PVI) Sea Entonces el problema Resolver: Sujeta a : X(t 0 ) = X 0 (7) es un PVI.

13 Sea the entries de A(t) y F(t) be functions continuous on a common interval I that contains t 0, Then there exists a unique solución de (7) on I. TEOREMA 10.1 Existencia de una Solución Única Sea X 1, X 2,…, X k be a set de solución de the homogeneous system (5) on I, then X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c k X k es also a solución on I. TEOREMA 10.2 Superposition Principles

14 Ejemplo 3 Please verify that are solutions de (8)

15 Ejemplo 3 (2) entonces también es una solución.

16 Sea X 1, X 2, …, X k un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c 1, c 2, …, c k, no todas nulas, tales que c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c k X k = 0 Para toda t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es Linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es Linealmente independiente. DEFINICIÓN 10.2 Dependencia e Independencia Lineal

17 Sea n vectores solución del sistema homogéneo (5) en el intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si el wronskiano TEOREMA 10.3 Crieterio de Soluciones Linealmente Independientes

18 (continución) (9) para toda t en el intervalo. TEOREMA 10.3 Crieterio de Soluciones Linealmente Independientes

19 Ejemplo 4 Hemos visto que son soluciones de (6). Como son linealmente independientes para toda t real.

20 Cualquier conjunto X 1, X 2, …, X n de n vectores solución Linealmente independientes del sistema homogéneo (5) En un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. DEFINICIÓN 10.3 Conjunto Fundamental de Soluciones

21 Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) en un intervalo I. TEOREMA 10.4 Extitencia de un Conjunto Fundamental Sea X 1, X 2, …, X n un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo (5) en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el intervalo es X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n donde las c i, i = 1, 2,…, n son constantes arbitrarias. TEOREMA 10.5 Solución General, Sistemas Homogéneos

22 Ejemplo 5 Hemos visto que soluciones linealmente independientes de (6) en (, ). De ahí que forman un conjunto fundamental de soluciones. Entonces la solución general es (10)

23 Ejemplo 6 Conside los vectores

24 Ejemplo 6 (2) El wronskiano es

25 Ejemplo 6 (2) Entonces la solución general es

26 Sea X p una solución dada del sistema no homogéneo (4) en el intervalo I, y sea que X c = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n denota la solución general en el mismo intervalo del sistema homogéneo relacionado (5). Entonces solución general del sistema no homogéneo en el intervalo es X = X c + X p. La solución general X c del sistema homogéneo (5) se llama funcción complementaria del sistema no homogéneo (4). TEOREMA 10.6 Solución General, Sistemas No Homogéneas

27 Ejemplo 7 El vector es una solución particular de (11) en (, ). En el Ejemplo 5, vimos que la solución de es Así la solución general de (11) en (, ) es

28 10.2 Sistemas Lineales Homogéneos Una cuestión Nos preguntamos si siempre es posible hallar una solución de la forma (1) para el sistema lineal homogéneo de primer orden (2)

29 Valores Propios y Vectores Propios Si (1) es una solución de (2), entonces X = K e t entonces (2) se transforma en K e t = AKe t. Así tenemos que AK = K ó AK – K = 0. Como K = IK, tenemos (A – I)K = 0(3) La ecuación (3) es equivalente a

30 Si queremos hallar una solución no trivial X, se debe tener det(A – I) = 0 Las discusiones anteriores son similares valores propios y vectores propios de matrices.

31 Sean 1, 2,…, n n valores propios y reales de la matriz A de (2), y sean K 1, K 2,…, K n los vectores propios correspondientes. La solución general de (2) es TEOREMA 10.7 Solución General, Sistemas Homogéneos

32 Ejemplo 1 Resolver (4) Solución tenemos 1 = 1, 2 = 4.

33 Ejemplo 1 (2) Para 1 = 1, tenemos 3k 1 + 3k 2 = 0 2k 1 + 2k 2 = 0 Así k 1 = – k 2. Cuando k 2 = –1, entonces Para 1 = 4, tenemos 2k 1 + 3k 2 = 0 2k 1 2k 2 = 0 Así k 1 = 3k 2 /2. Cuando k 2 = 2, entonces

34 Ejemplo 1 (3) Tenemos y la solución es (5)

35 Ejemplo 2 Resolver (6) Solución

36 Ejemplo 2 (2) Para 1 = 3, tenemos Así k 1 = k 3, k 2 = 0. Cuando k 3 = 1, entonces (7)

37 Ejemplo 2 (3) Para 2 = 4, tenemos Así k 1 = 10k 3, k 2 = k 3. Cuando k 3 = 1, entonces (8)

38 Ejemplo 2 (4) Para 3 = 5, tenemos Entonces (9)

39 Ejemplo 2 (5) Así

40 Ejemplo 3: Valores Propios Repetidos Resolver Solución

41 Ejemplo 3 (2) Tenemos – ( + 1) 2 ( – 5) = 0, entonces 1 = 2 = – 1, 3 = 5. Para 1 = – 1, k 1 – k 2 + k 3 = 0 or k 1 = k 2 – k 3. Escogiendo k 2 = 1, k 3 = 0 y k 2 = 1, k 3 = 1, por otro lado tenemos k 1 = 1 y k 1 = 0.

42 Ejemplo 3 (3) Así los dos vectores propios son Para 3 = 5,

43 Ejemplo 3 (4) Implica que k 1 = k 3 y k 2 = – k 3. Eligiendo k 3 = 1, se tiene k 1 = 1, k 2 = –1, así Entonces la solución general es

44 Segunda Solución Suponga que 1 es de multiplicidad 2 y sólo lo hay un vector propio relacionado con este valor. Una segunda solución es de la forma (12) Así X = AX se transforma en tenemos (13) (14)

45 Ejemplo 4 Resolver Solución Priemro resolvemso det (A – I) = 0 = ( + 3) 2, = 3, 3, y entonces obtenemos el primer vector propio Sea

46 Ejemplo 4 (2) De (14), tenemos (A + 3 I) P = K. Entonces Eligimos p 1 = 1, entonces p 2 = 1/6. Sin embargo, elegimos p 1 = ½, entonces p 2 = 0. Así

47 Ejemplo 4 (3) De (12), tenemos La solución general es

48 Valores Propios de Multiplicidad 3 Cuando hay sólo un vector propio asociado a un valor propio de multiplicidad 3, podemos determinar una tercera solución como y

49 Ejemplo 5 Resolver Solución ( 1 – 2) 3 = 0, 1 = 2 es de multiplicidad 3. Resolviendo (A – 2I)K = 0, tenemos un único vector propio

50 Ejemplo 5 (2) A continuación de resuelven (A – 2I) P = K y (A – 2I) Q = P, entonces Así

51 Sea A la matriz de coefcientes con elementos reales del sistema homogéneo (2), y sea K 1 un vector propio correspondiente al valor propio complejo 1 = + i, y reales. Entonces y son soluciones de (2). TEOREMA 10.8 Soluciones Correspondientes a un Valor Propio Complejo

52 Sea 1 = + i un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A en el sistema homogéneo (2), y sean B 1 y B 2 los vectores columna definidos en (22). Entonces (23) son soluciones linealmente independientes de (2) en (, ). TEOREMA 10.9 Soluciones Reales que Corresponden a un Valor Propio Complejo

53 Ejemplo 6 Resolver Solución Primero, Para 1 = 2i, (2 – 2i)k 1 + 8k 2 = 0, – k 1 + (–2 – 2i)k 2 = 0, obtenemos k 1 = –(2 + 2i)k 2.

54 Ejemplo 6 (2) Elegimos k 2 = –1, entonces Como = 0, entonces

55 Fig 10.4

56 10.3 Resolución por Diagonalización Fórmula Si A es diagonalizable, entonces existe P, tal que D = P -1 AP es diagonal. Dejando que sea X = PY se tiene que X = AX se transforma en PY = APY, Y = P -1 APY, esto es, Y = DY, la solución es

57 Ejemplo 1 Resolver Solución De det (A – I) = – ( + 2)( – 1)( – 5), obtenemos 1 = – 2, 2 = 1 y 3 = 5. Puesto que son distintos, los vectores propios son linealmente independientes. Para i = 1, 2, 3, resolvemos (A – i I)K = 0, tenemos

58 Ejemplo 1 (2) entoncesy Como Y = DY, entonces Así

59 10.4 Sistemas Lineales No Homogéneos Ejemplo 1 Resolver Solución Primero se resuelve X = AX, = i, i,

60 Ejemplo 1 (2) Ahora sea tenemos Así Finalmente, X = X c + X p

61 Ejemplo 2 Resolver Solución Priemro se resuelve X = AX. Por el mismo procedimiento, tenemos 1 = 2, 2 = 7, y Entonces

62 Ejemplo 2 (2) Ahora dejamos que sea Tras sustituir y simplificar, ó

63 Ejemplo 2 (3) Resolviendo las primeras ecuaciones, y sustituyendo estos valores en al menos dos ecuaciones, obtenemos La solución general del sistema en (, ) es X = X c + X p ó

64 Ejemplo 3 Determine la forma pf X p para dx/dt =5x + 3y – 2e -t + 1 dy/dt =x + y + e -t – 5t + 7 Solución Como Entonces

65 Matriz Fundamental Si X 1, X 2,…, X n es un conjunto fundamental de soluciones de X = AX en I, su solución general es la combinación lineal X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+ c n X n, ó (1)

66 (1) puede escribirse como X = Φ(t)C (2) donde C es el n 1 vector de constantes arbitrarias c 1, c 2,…, c n, y se llama matriz fundamental. Dos propiedades de (t): (i) regular; (ii) (t) = A (t)(3)

67 Variación de Parámetros Además, tenemos que hallar al función tal que X p = Φ(t)U(t)(4) es una solución particular de (5) Como(6) entonces (7)

68 Usando (t) = A (t), entonces ó(8) Así y entonces Como X p = Φ(t)U(t), entonces (9) Finalmente, X = X c + X p (10)

69 Ejemplo 4 Determinar la solución general de en (, ). Solución Primero resolvemos el sistema homogéneo La ecuación característica de al matriz de coeficientes es

70 Ejemplo 4 (2) Podemos obtener = 2, 5, y los vectores propios son Así las soluciones son Así

71 Ejemplo 4 (3) Ahora

72 Ejemplo 4 (4) De ahí que

73 Ejemplo 5 Resolver Solución Por el mismo método, tenemos Entonces

74 Ejemplo 5 (2) Sea X = PY, Tenemos dos ED:

75 Ejemplo 5 (3) Las soluciones son y 1 = 1/5 e t + c 1 e y 2 = –7/20 e t + c 2 e 5t. Así

76 10.5 Matriz Exponencial También A 0 = I, A 2 = AA, …. Para cualquier matriz A de n n, (3) DEFINITION10.4 Matriz Exponencial

77 Derivada de e At (4) Puesto que

78 Por otro lado, (5) entonces e At también es una solución de X = AX.

79 Cálculo de e At

80 Uso de la Transformada de Laplace X = AX, X(0) = I (7) Si x(s) = L {X(t)} = L {e At }, luego sx(s) – X(0) = Ax(s) or (sI – A)x(s) = I Ahora x(s) = (sI – A) –1 I = (sI – A) –1. Así L {e At } = (sI – A) –1 (8)

81 Ejemplo 1 Use la Transformada de Laplace para calcular e At, donde Solución

82 Ejemplo 1 (2)

83 Uso de Potencias A m (10) donde los coeficientes c j son los mismos para cada sumatorio y la última expresión es válida para los valores propios 1, 2, …, n de A. Suponga que los valores propios de A son distintos. Poniendo = 1, 2, … n en la segunda expresión de (10), obtenemos los c j de la primera expresión resolviendo n ecuaciones. De (3) y (2), tenemos

84 Remplazando A k y k como sumas finitas, intercambiando el orden de la suma

85 Ejemplo 2: Uso de Potencias A m Calcular e At, donde Solución Ya conocemos 1 = 1 y 2 = 2, luego e At = b 0 I + b 1 A y(14) Usando los valores de, se tiene tenemos b 0 = (1/3)[e 2t + 2e – t ], b 1 = (1/3)[e 2t – e –t ].

86 Ejemplo 2 (2) Así


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