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Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES POR SUSTITUCION (Método de sustitución)

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Presentación del tema: "Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES POR SUSTITUCION (Método de sustitución)"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES POR SUSTITUCION (Método de sustitución)

2 Sustituciones Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer orden mediante la sustitución y=g(x,u), donde u se considera una función de la variable x. Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera

3 Sustituciones… Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la ecuación diferencial se convierte en que si se resuelve para du/dx, tiene la forma: Si de esta última ecuación se puede determinar una solución u= (x), entonces una solución de la ecuación diferencial original es y=g(x, (x)).

4 Funciones homogéneas Si una función f posee la propiedad f(tx,ty)=t f(x,y) para algún número real, se dice entonces que f es una función homogénea de grado. Por ejemplo: f(x,y) = x 3 +y 3 es una función homogénea de grado 3 mientras que f(x,y) = x 3 +y 3 +1 no lo es.

5 Polinomios homogéneos Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado. Ejemplos: x 2 y + 8xy 2 – x 3 +y 3 ( la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro términos son de grado 3 ). 5x 2 y 3 + 4xy 4 +8x 5 ( la suma de los exponentes de cada uno de los tres términos son de grado 5 ).

6 Ecuaciones homogéneas Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la ecuación diferencial de primer orden M(x,y)+N(x,y)=0 son ambas polinomios homogéneos del mismo grado n, la ecuación diferencial se denomina: ecuación diferencial homogénea de grado n.

7 Ecuaciones homogéneas… Para la ecuación diferencial homogénea M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la propiedad de que para toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n. En otras palabras, la ecuación diferencial es homogénea si: M(tx,ty)=t n M(x,y) y N(tx,ty)=t n N(x,y). Para n R.

8 Ecuaciones homogéneas… Las ecuaciones diferenciales homogéneas de grado n siempre se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables separables, utilizando cualquiera de las dos sustituciones, o cambios de variables siguientes:

9 Problema Resuelva la ecuación diferencial mediante la sustitución:

10 Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial Donde n es cualquier real se llama Ecuación de Bernoulli. Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal. Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y 1-n reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

11 Ecuación de Bernoulli… Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución adecuada.

12 Otras reducciones Una ecuación diferencial de la forma: Se reduce siempre a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución:

13 Otras reducciones… Resuelva las ecuaciones diferencial con la sustitución adecuada.


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