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Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación.

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1 Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

2 Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

3 Discretización especial (2D) Diferencias finitas Ecuación de transporte para nudo i,j Solución transporte conservativo (1) i - 1ii + 1 x y j j + 1 j - 1

4 Solución transporte conservativo (2) Elementos Finitos Se basa en interpolación entre nudos Se especifica coordinadas de nudos y los nudos de cada elementos Se pueden mezclar tipos de elementos NudoElemento Valor (c) Segmento Triángulo Cuadrilátero TetraedroPrisma Malla 2D de EF Triángulo Cuadrilátero Segmento 1D

5 Solución transporte conservativo (3) Para todos los nudos y en notación de matriz: Discretización temporal por DF Resolver c k+1 mediante: Matriz para adv./dif./disp. Matriz diagonal de almacenamiento Vector de fuentes/sumideros Vector de concentraciones para cada nudo Factor de ponderación temporal (entre 0 y 1)

6 Resolver sistema lineal Métodos directos Descomposición en LU Dos partes Descomposición: prepara matriz A Solución: calcula x La descomposición es más costosa que la solución Si cambia b pero no cambia A, se puede aprovechar la descomposición Es un método robusto

7 Resolver sistema lineal (2) Métodos iterativos Ejemplos: Gradientes Conjugados, GMRES Empiezan con una solución inicial, que se mejora cada iteración Pueden tener problemas de convergencia Requieren una solución inicial y criterios de convergencia, p.e. Son mejores para mallas de 2D y 3D con muchos nudos

8 Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

9 Solución de las ec. de transporte reactivo Problema Muchas ecuaciones/incógnitas: número de nudos número de componentes En general, ecuaciones muy no lineales Para problemas no lineales hay dos métodos de resolución Picard (en transporte reactivo también llamado: SIA (Sequential Iteration Approach), Two-step) Newton Raphson (en transporte reactivo también llamado: DSA (Direct Substitution Approach), One- step, Global Implicit)

10 Picard, principio Escribimos ecuación como Resolvemos iterativamente x i+1 un sistema lineal hasta que converja: Para 1 incógnita x1x1 x2x2 x3x3 b(x) A(x)x A(x 1 )x A(x 2 )x i = número de iteración

11 Criterios de convergencia Error absoluto de la incógnita Error relativo de la incógnita Error de la ecuación

12 Picard, ejemplo Dos incógnitas (x 1 x 2 ) y dos ecuaciones Iter x b A Ax-b

13 En lugar de converger (cada vez más cerca de la solución), puede divergir (cada vez más lejos de la solución) Se puede solucionar refinando la descretización (disminuyendo x o sobre todo t) Picard, divergencia x1x1 x2x2 x3x3 b(x) A(x)x

14 Newton-Raphson, principio Escribimos ecuación como Resolvemos iterativamente x i+1 mediante un sistema lineal hasta que converja: Para 1 incógnita f x0x0 x1x1 x2x2 JacabianoResiduo x3x3 J0J0 J1J1

15 Newton Raphson, ejemplo Iter x f J x i+1 -x i

16 Newton-Raphson, divergencia También Newton-Raphson puede divergir También se puede solucionar refinando descretización f x0x0 x1x1 x2x2

17 No (siempre) se actualiza el jacobiano Requiere más iteraciones, pero se ahorra tiempo de cálculo en el ensamblaje del jacobiano Pseudo Newton-Raphson f x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 J0J0

18 Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

19 Si hay expresión explícita para química N c ecuaciones y N c incógnitas (c 1 ) Newton-Raphson 1: Se sabe la con- centración total (u a ) 2: Se sabe la con- centración (c prescrita ) 1: 2:

20 Ejemplo Primarias: H +, CO 3 -2 Secundarias: HCO 3 -, CO 2, OH - Carbono total = 10 -3, pH =7

21 Si no hay expresión explícita para química Ecuaciones químicas ¿Cómo calcular c a2 y c a2 / c 1 ? O, montar Newton-Raphson con N s incógnitas (c) y ecuaciones (componentes y químicas) O, calcular c a2 y c a2 / c 1 iterativamente ( i+1 = (c i )) Se iteraDespués de la última iteración Regla de la cadena

22 Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

23 Picard, aplicación a transporte reactivo Escribimos ec. de transporte reactivo como: Primer paso: transporte Se puede resolver para cada componente por separado Ecuación discretizada Términos linealesTérminos no lineales = vector de conc. acuosas de componente c para todos los nudos

24 Picard, aplicación a transporte reactivo (2) Segundo paso: química Cálculo de b i+1 a partir de u a i+1 para cada nudo por separado Resolver c 1 (N c ) y c m (N m ) aplicando Newton-Raphson (pequeño) Calcular b i+1 a partir de c 1 y c m NcNc NmNm

25 Detalles ecuaciones químicas Para componentes inmóviles, p.e. [XNa] + 2[X 2 Ca] = CEC Ec. de transporte tratada como ec. química

26 Ejemplo Reacciones en equilibrio R1: CO 3 2- = HCO H + R2: X 2 Ca = 2XNa + Ca Na + R3: H 2 O = H + + OH - R4: CaCO 3 (s) = Ca 2+ + CO 3 2- Componentes: Ca 2+, HCO 3 -, Na +, XNa (CEC), H +, OH - Tratar como ecuación 'química'

27 Ejemplo, paso de transporte Resolver las concentraciones acuosas

28 Ejemplo, paso químico Resolver Ca 2+, HCO 3 -, Na +, H +, OH -, XNa, CaCO 3

29 Picard, variantes Utilizar u en lugar de u a como variable Paso de transporte Paso químico SNIA (Sequential Non Iterative Approach) Lo mismo que SIA pero sin iterar

30 Valores iniciales Paso de transporte: utilizar el valor del tiempo anterior Paso químico: utilizar el valor de la iteración de transporte anterior i = iteración de transporte j = iteración química

31 Picard y eliminación de minerales La presencia de minerales puede depender del espacio E y EU dependen del espacio Se pierde la ventaja de calcular el paso de transporte para cada componente por separado La eliminación de minerales sólo se puede incorporar a Picard, si la presencia de minerales no depende del espacio.

32 Newton-Raphson, aplicación a trans. react. Escribimos ecuación de transp. react. como Hace falta Discretizar Jacobiano Si las conc. secundarias se escriben explícitamente en función de las primarias, p.e. se pueden escribir las ec. de transporte en función de conc. primarias

33 Newton-Raphson, sustitución ec. químicas Si ecuaciones químicas no son explícitas Aplicar Newton-Raphson a ecuación de transporte Newton-Raphson pequeño para química (N c -N p ) ecuaciones de transporte (N r ) ecuaciones químicas Se iteraDespués de la última iteración

34 Valores iniciales Para el valor inicial utilizar el valor del tiempo anterior

35 Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

36 Comparación teórica Picard, SIANewton-Raphson, DSA Resuelve transporte y química por separado Resuelve transporte y química simultáneamente Requiere menos memoria de ordenador Requiere más memoria de ordenador Más fácil de programarMás difícil de programar Se usa muchoSe usa poco Convergencia linealConvergencia cuadrática Más rígidoMás robusto

37 Comparación mediante ejemplos Metodología Calcular ejemplos mediante los dos métodos Usar gestión automática de t Comparar número de incrementos de tiempo, número de iteraciones y tiempo de CPU

38 Ejemplo CAL Disolución de CALcita 3 componentes 7 acuosas 1 mineral 21 nudos 1.0 volumen poros lavados

39 Ejemplo WAD Intercambio iónico en el WADdenzee 6 componentes 9 acuosas 3 adsorbidas 1 mineral 21 nudos 37.5 vol.por.lav.

40 Ejemplo DEDO DEDOlimitación cerca de una fractura 7 componentes 15 acuosas 2 mineral 225 nudos vol.por.lav.

41 Ejemplo OSA Meteorización en una mina de Uranio de OSAmu Utsumi (Poços de Caldas, Brasil) 13 componentes 42 acuosas 8 mineral 101 nudos vol.por.lav.

42 Resultados

43 Influencia malla ¿Qué pasa con mallas finas y de más dimensiones? Cambiar las mallas 1D en 2D Variar el número de nudos

44 Resultados


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