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1 Metodos de Solución Iterativos Empezar con una aproximación inicial para el vector solución (x 0 ) Actualizar en cada iteración el vector x usando el.

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1 1 Metodos de Solución Iterativos Empezar con una aproximación inicial para el vector solución (x 0 ) Actualizar en cada iteración el vector x usando el sistema Ax=b Cada iteración involucra el producto matriz- vector. Si A es esparcida este producto es realizado eficientemente.

2 2 Procedimiento de solución Iterativa Escribir el sistema Ax=b en una forma equivalente x=Tx+c Empezando con x 0, genere una secuencia de aproximaciones {x k } iterativamente por x k+1 =Tx k +c Representación de T y c dependen del tipo de método usado. Pero para cada método T y c son obtenidas a partir de A y b.

3 3 Convergencia Cuando k, la secuencia {x k } converge a un vector solución bajo algunas condiciones en la Matriz T. Esto impone condiciones diferentes en la matriz A para diferentes métodos. Para la misma matriz A, un método puede converger mientras que otro puede divergir. Por lo tanto para cada método la relación entre A y T deben ser encontradas para decidir la convergencia.

4 4 Diferentes metodos Iterativos Iteración de Jacobi Iteración de Gauss-Seidel Successive Over Relaxation (S.O.R) SOR es un método usado para acelerar la convergencia. La iteración de Gauss-Seidel es un caso especial del método SOR.

5 5 Iteración de Jacobi

6 6 Método de Jacobi. Forma Matricial Descomponiendo A = D - L - U. -L=tril(A)-D -U -L-L D D=diag(diag(A)) = -U=triu(A)-D

7 7 x k+1 =Tx k +c - iteración por el método de Jacobi Se puede escribir como A=D-L-U (No es una factorización) x k+1 =D -1 (L+U)x k +D -1 b T=D -1 (L+U) c=D -1 b Ax=b (D-L-U)x=b Dx k+1 = (L+U)x k +b Dx k+1

8 8 iteración Gauss-Seidel (GS) Use lo último al actualizar

9 9 x (k+1) =Tx (k) +x iteración de Gauss-Seidel x k+1 =(D-L) -1 Ux k +(D-L) -1 b T gs =(D-L) -1 U c gs =(D-L) -1 b Ax=b (D-L-U)x=b (D-L)x k+1 =Ux k +b Dx k+1

10 10 Comparación İteración de Gauss-Seidel converge más rápidamente que la iteración de Jacobi desde que este usa la última actualización. Pero existen algunos casos que la iteración de Jacobi converge pero Gauss-Seidel no. El método de sobre relajación sucesiva es usada para acelerar la convergencia del método de Gauss-Seidel.

11 11 Metodo Sobre Relajación Sucesiva (SOR) Puede ser escrita como sigue término Corrector Multiplicando por Converge más rápido

12 12 SOR Donde el ultimo termino es la estimación de Gauss-Seidel 1< <2 Sobre-relajación (convergencia rápida) 0< <1 Sub-relajación (convergencia más lenta) Existe un valor óptimo para Encontrarlo por prueba y error

13 13 x (k+1) =Tx (k) +c iteración para SOR Dx k+1 =(1- )Dx k + b+ Lx k+1 + Ux k (D- L)x k+1 =[(1- )D+ U]x k + b T=(D- L) -1 [(1- )D+ U] c= (D- L) -1 b

14 14 Convergencia de los métodos iterativos Define el vector solución como Define el vector error como Substituye esto en

15 15 Convergencia de los Métodos Iterativos Condición de Convergencia iteración potencia El método iterativo convergería para cualquier vector inicial arbitrario si la siguiente condición es satisfecha

16 16 Norma de un vector La norma de un vector debe satisfacer estas condiciones: Las normas Vectoriales pueden ser definidas de diferentes formas en tanto que la definición de norma sea satisfecha.

17 17 Normas de vectores Comunmente usadas norma Suma o norma 1 norma Euclideana ó norma 2 norma Máxima o norma

18 18 Norma de una matriz La norma de una matriz debe satisfacer estas condiciones: Importante identidad

19 19 Normas de matrices mas usadas Norma Máxima suma_columna o norma 1 Norma Espectral o norma 2 Norma Maxima suma_fila o norma

20 20 Ejemplo Calcule las normas 1 y de la matriz

21 21 Condición de Convergencia Expresar T en terminos de matriz modal P y : Matriz Diagonal con valores propios de T en la diagonal

22 22 Condición Suficiente para convergencia Si la magnitud de todos los valores propios de la Matriz de iteración T es menor que 1 entonces la iteración es convergente Los valores propios son mas fácil de calcular que la norma de una matriz condición suficiente para convergencia

23 23 Convergencia de la iteración de Jacobi T=D -1 (L+U)

24 24 Convergencia de la iteración de Jacobi Evaluar la norma infinita (suma máxima fila) de T Matriz Diagonal estrictamente Dominante Si A es una matriz con diagonal estrictamente dominante, entonces la iteración de Jacobi converge para cualquier valor inicial

25 25 Criterios de Parada Ax=b En cualquier iteración k, el término residual es r k =b-Ax k Verificar la norma del término residual ||b-Ax k || Si esto es menor que la cota del valor de parada

26 26 Ejemplo 1 (Iteración de Jacobi) Matriz Diagonal estrictamente dominante

27 27 Ejemplo 1 continuación... Matriz es diagonal estrictamente dominante, las iteraciones de Jacobi son convergentes.

28 28 Ejemplo 2 La matriz no es diagonal estrictamente dominante

29 29 Ejemplo 2 continuación... El término del residual aumenta en cada iteración, de tal forma que las iteraciones divergen. Note que la matriz no es diagonalmente estrictamente dominante Cuando la matriz no tiene diagonal estrictamente dominante, puede converger como no.

30 30 Convergencia de la iteración de Gauss-Seidel Iteración GS converge para cualquier vector inicial si A es una matriz diagonal estrictamente dominante Iteración GS converge para cualquier vector inicial si A es una matriz simétrica y definida positiva – La matriz A es definida positiva si x T Ax>0 para cualquier vector x no nulo.

31 31 Ejemplo1 (Iteración de Gauss-Seidel) Matriz Diagonal estrictamente dominante İteración de Jacobi

32 32 Ejemplo 1 continuación... Iteración de Jacobi Cuando ambos métodos de Jacobi y Gauss- Seidel convergen, Gauss-Seidel converge más rápido.

33 33 Convergencia del método SOR Si 0< <2, método SOR converge para cualquier valor inicial si A es una matriz simétrica y definida positiva. Si >2, método SOR diverge Si 0< <1, SOR método converge pera la velocidad de convergencia es mas lenta que el método de Gauss-Seidel.

34 34 Conteo de operaciones El # de operaciones para la Eliminación gaussiana o la descomposición LU es de 0 (n 3 ), orden de n 3 Para los métodos iterativos, el número de multiplicaciones escalares es 0 (n 2 ) en cada iteración. Si el número total de las iteraciones requeridas para la convergencia es mucho menos que n, entonces los métodos iterativos son más eficiente que métodos directos. Los Métodos iterativos también se satisfacen bien para las matrices esparcidas.

35 35 Formas Matriciales. Resumen La solución del sistema A x = b se obtiene mediante la siguiente expresión recursiva: x ( k ) = Tx ( k-1 ) + c A= D - L - U A= D - L - U Método Jacobi Gauss-Seidel SOR T c D -1 (L+U) D -1 b ( D -L) -1 U ( D -L) -1 b (D-w L) -1 [(1-w) D + w U ] w(D-w L) -1 b

36 36 Problema 1 Resolver el siguiente sistema por el método SOR, considere ω=1.25. Aplicamos el metodo de SOR:

37 37 Problema 1

38 38 Problema 1 kx1x2x

39 39 Problema 2 Sea el sistema A x = b : Para k=-1, es la matriz A definida positiva? Para que valores de k el sistema converge, al usar el método de Gauss-Seidel? Hacer 03 iteraciones de Gauss-Seidel para k=-3

40 40 Problema 2 A es definida positiva si: Observese que también satisface el criterio de Silvester

41 41 Problema 2

42 42 Problema 2 n x 1 x


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