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MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO ÁLGEBRA. 1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.) DEFINICIONES BÁSICAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS.

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1 MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO ÁLGEBRA

2 1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.) DEFINICIONES BÁSICAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS 2) MATRICES. DEFINICIONES OPERACIONES CON MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ 3) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA MATRIZ INVERSA CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ 4) RESOLUCIÓN DE SITEMAS CON DETERMINANTES SISTEMAS DE CRAMER TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON DETERMINANTES RESOLUCIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (S. E. L.) Definiciones básicas: Una ecuación es una igualdad en la que aparecen una o varias incógnitas. (1)(2)(3) (4)(5)(6) Una ecuación es lineal si es de la forma: Es decir, es una suma de términos. Cada término consiste en un número (a 1, a 2,.. coeficientes) multiplicado por una incógnita (x 1, x 2, …). Las incógnitas no pueden estar elevadas al cuadrado o multiplicadas entre sí ni pueden estar dentro de raíces u otras funciones. En los ejemplos anteriores, son ecuaciones lineales: no son ecuaciones lineales: 1,3,4,6 2 y 5 Ejemplos:

4 EJEMPLOS: Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es un conjunto de ecuaciones lineales. Llamaremos solución del sistema a una serie de números que al sustituirlos por las incógnitas en las ecuaciones dan lugar a igualdades numéricas ciertas. Resolver un sistema es hallar TODAS las soluciones del sistema Despejamos en la segunda ecuación y=3 y sustituimos en la primera ecuación: 2x+3·3=5, 2x=5-9 Solución: x=-2, y=3 Por el método de reducción, multiplicamos por -2 la primera ecuación y sumamos: 5y=-4; y=-4/5. Sustituyendo en la primera x=21/5 Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad falsa 0=13. ¿Qué significa esto? Por el método de reducción, multiplicamos por 2 la primera ecuación y sumamos. Obtenemos una igualdad cierta 0=0. ¿Qué significa esto? Se puede eliminar la segunda ecuación. El sistema tiene infinitas soluciones x=9+2y El sistema no tiene solución

5 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES No tiene solución: SISTEMA INCOMPATIBLE: S.I. Tiene solución: SISTEMA COMPATIBLE Solución única: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO S.C.D. Infinitas soluciones: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO S.C.I.

6 SISTEMAS EQUIVALENTES: Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones Transformaciones de un sistema que dan lugar a otro equivalente: multiplicar una ecuación por un número distinto de 0 sustituir una ecuación por ella misma más otra multiplicada por un número cambiar el orden de las ecuaciones o de las incógnitas El método de Gauss consiste en aplicar estas transformaciones hasta obtener un sistema triangular (todos los coeficientes por debajo de la diagonal son cero) como este: Que resolvemos, despejando la z en la última ecuación, y sustituyendo en la anterior y así sucesivamente hacia arriba. z=4, y=12, x=-7 MÉTODO DE GAUSS

7 E2-3E1 E3-5E1E3-2E2 Pivote. Preferiblemente, coeficiente 1 Pivote, se puede multiplicar por -1 SCD. Solución: (-4,6,1) E2-E1 E3-2E1 SCD. Solución: (1,2,3) E2-2E1 E3+E1E3+E2 Igualdad numérica falsa Sistema Incompatible SI E2-2E1 E3+E1E3+E2 Igualdad numérica cierta ¿?

8 Una igualdad numérica cierta se puede eliminar y continuamos resolviendo el sistema. En el caso del último ejemplo hemos acabado en un sistema triangular pero tenemos un exceso de incógnitas. Lo que haremos será pasar la z al otro miembro y resolver el sistema en función de z Para cada valor de z obtenemos unos valores de x e y. Por tanto el sistema tiene infinitas soluciones. (SCI). Para que quede más elegante, hacemos: x-y+z+4t=6 2x+3y-z-11t=-7 y+z+t=1 x+y-z=1 3x+2y+z=1 5x+3y+4z=2 -2x-y+5z=6 2x-y-z=2 3x-2y+4z=1 Resuelve: 12 3 Sistema incompatible SI Soluciones:

9 Resuelve el siguiente sistema (p.46 5a) E2-E1 E3-2E E2: E3-5E z=6 y=4 x=-2 2x+5y=16 x+3y-2z=-2 x+z=4 Puesto que los cálculos los hacemos con los coeficientes, las incógnitas se pueden no poner, obteniendo así una tabla numérica que tenemos que triangularizar operando con las filas exactamente igual que operábamos con las ecuaciones. Cuando hayamos llegado a la tabla triangular, recomponemos el sistema y resolvemos. Disposición práctica del método de Gauss

10 x-2y+z=11 2x-y+t=9 5x-y+z+t=24 5x-2y-z+2t= E2-2E1 E4-5E1 E3-5E1E3-3E2 3E4-8E SCD. Solución(-3/4,11/4,69/4,53/4) Resuelve el siguiente sistema (p.40 2c)

11 SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero x-3y+z=0 3x-y=0 4x+y-z=0 2E2-3E1 E3-2E x-3y+z=0 7y-3z=0 SCI: (t/7, 3t/7, t) x-2y+z=0 x-y-2z=0 4x+y-z=0 SCD (0,0,0) Un sistema homogéneo ¿puede ser incompatible?¿Por qué?

12 Resolución de un sistema según los valores de un parámetro Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro a x+y+2z=2 2x-y+3z=2 5x-y+az=6 ! No de trata de un único sistema. Son infinitos sistemas (uno para cada valor de a) y tenemos que decir cómo es cada uno de estos sistemas (SI; SCD ó SCI) y resolverlo en los casos de compatibilidad Empezamos a resolver el sistema por el método de Gauss a a a-80 x+y+2z=2 3y+z=2 (a-8)z=0 Normalmente, para acabar de resolver el sistema hay que dividir. Y aquí es donde aparecen las alternativas porque, recuerda: NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0 x+y+2z=2 3y+z=2 SCD SCI. Solución:


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