Método de Variación de Parámetros

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1 Método de Variación de Parámetros
Por: Tomás Estrada Sánchez Grupo: 211

2 Lo que necesitamos suponer con respecto al miembro derecho R(x) en la ecuación
f(D)y = R(x) Es que R(x) tiene un comportamiento adecuado para que las integrales que encontremos existan. Para la ecuación (1), una vez que se conocen las raíces de la educación auxiliar f(m) = 0, la función complementaria se escribe por inspección. Supóngase, por ejemplo, que (1) es de orden dos y su función complementaria esta dada por yc = c1(x) + c2(x), Donde c1 y c2 son constantes arbitrarias o (parámetros) y las y por supuesto funciones conocidas. En este caso se sigue el método de variación de parámetros. Primero, reemplazamos las constantes c1 y c2 por funciones desconocidas de x. digamos A y B.

3 y = A(x) + B(x), Donde A y B puedan considerarse como dos nuevas variables dependientes. Aquí A y B reemplazan a los parámetros c1 y c2 de (2), solo que ahora estas cantidades pueden variar. Esta peculiaridad es lo que le da el nombre al método su nombre. Ahora tenemos presentes tres variables independientes A, B, y y. Ellas deben satisfacer las ecuaciones aunque, en general, tres variables pueden satisfacer a un conjunto de tres ecuaciones. Por tanto aquí en este caso, somos libres de imponer una condición más sobre A, B, y y.

4 y' = A'1(x) + B'2(x) + A'(x) + B'(x),
Ahora vamos a imponer una tercera condición demandando que A'(x) + B'(x) = 0 Entonces se transforma en y' = A'1(x) + B'2(x), de lo cual se tiene y'' = A''1(x) + B''2(x) + A''1(x) + B''2(x), Que no involucra más derivadas de primer orden de Ay B. Finalmente pueden usarse para eliminar y de la (1), y podemos por tanto obtener una ecuación en A'

5 Y B' para compararla con el ultimo
Y B' para compararla con el ultimo. De aquí se ve que es posible encontrar A' y B', y entonces determinar A y B, por integración. Una vez que A y B son conocidas, la ecuación (3) nos da la y deseada. El método se generaliza fácilmente a ecuaciones de un orden mayor que dos, pero no aparecen ideas esencialmente nuevas y los detalles pueden ser tediosos.

6 Ejemplo A = − tan2x dx = (1− sec2x)dx, Así que A= x − tan x,
otra vez desdeñando la constante arbitraria. Volviendo a la ecuación (9), con la A conocida de la ecuación (14) y la B de la ecuación (13), escribimos la solución particular yp = (x − tanx)cosx + senx ln sec x o yp = x cosx − senx + senx ln sec x entonces la solución general de (8) es y = c1 cosx + c3 senx + x cosx + senx ln secx donde el término (− senx) en la yp ha sido absorbido en el término de la función complementaria c3 senx, ya que c3 es una constante arbitraria. La solución (15) puede, como es usual, verificarse por sustitución directa en la ecuación diferencial original.