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POR Mª ÁNGELES PAJUELO Diferencial de una función: concepto, interpretación geométrica y reglas de diferenciación, Ejemplos. Nueva expresión de la derivada.

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2 POR Mª ÁNGELES PAJUELO

3 Diferencial de una función: concepto, interpretación geométrica y reglas de diferenciación, Ejemplos. Nueva expresión de la derivada Primitiva de una función Integral indefinida de una función Propiedades de linealidad Integrales inmediatas Métodos elementales de integración Integración de funciones racionales, trigonométricas e irracionales

4 Sea f(x) una función que posee derivada en todos los puntos del intervalo (a,b). Sea x un elemento de (a,b). Llamamos diferencial de la función f(x), correspondiente a un incremento h de la variable independiente x, al producto: dy=df(x)=f´(x).h h= x Como, basándonos en la definición dada, dx=1.h=h, podemos escribir la definición anterior de la forma: dy=df(x)=f´(x).dx La dx representa el incremento de la variable independiente x, pero veamos, mediante una interpretación geométrica, qué re- presenta la dy.

5 Veamos qué representa el segmento RS: SR=tgP. x= f´(x).dx= = por definición=df(x)=dy Vemos que el segmento SR representa la dy, es de- cir, el incremento de la recta tangente en el punto (x,x+h) En definitiva, dx coincide con el incremento de x, pero dy no coincide con el incremento de y. Pero la recta tangente en P es la recta que mejor se aproxima a la curva en las proximida- des de P, lo cual quiere decir que si h es muy pequeño, y dy. En algunos ejemplos veremos como a veces nos piden calcular el incremento de la función, y sin embargo, calcularemos por comodidad, la diferencial (que será un valor muy próximo).

6 REGLAS DE DIFERENCIACIÓN Las reglas de diferenciación son las mismas que las de deriva- ción. Se deducen de la definición de diferencial y del cálculo de derivadas: y=u+v+w dy=(u+v+w)´.dx = (u´+v´+w´)dx= = u´dx+v´dy+w´dx = du+dv+dw y=u.v dy=(u.v)´.dx =(u.v´+u´.v)dx= u.v´.dx+v.u´.dx= =u.dv+v.du y=u/v dy=(u/v)´.dx= {(v.u´-u.v´)/v 2 }.dx=(vu´dx-uv´dx)/v 2 = =(vdu-udv)/v 2 De igual forma se deducen las diferenciales de todas las demás funciones.

7 Ejemplos sobre diferenciales Calcula la diferencial de y= (x 2 -x+2) si x=2 y dx=0,1 dy=f´(x)dx={(2x-1)/2 (x 2 -x+2)} x=2.0.1=0,3/4=0,075 Calcula el incremento y la diferencial de la función f(x)=x 2 -5x+8 cuando x pasa del valor 1 al 1,5. f=f(x+h)-f(x)=f(1,5)-f(1)=1, ,5+8-( )= =-1,25 df=f´(x).dx=(2x-5) x=1.0,5=-1,5 Calcula el incremento y la diferencial de la función f(x)=x 3 +x 2 cuando x pasa del valor 2 al 2,2. f=f(2,2)-f(2)=3,488 df=f´(x)dx=(3x 2 +2x) x=2.0,2=3,2

8 ¿Qué aumento experimenta el volumen de un cubo de 1 cm de lado, cuando por dilatación, éste experimenta un aumento de 1 mm.? V=l 3 dV=3l 2.dl= ,001=0,003 m 3 V=1, =1, =0, Observemos que V dV

9 Hallar el volumen de la chapa que forma una esfera de 30 cm de diámetro exterior y espesor 0,15 cm. V=4/3..r 3 dV=4/3.3.r 2.dr= ,15=424,11 cm 3 El volumen exacto de la chapa no es dV, sino V, es decir, la diferencia entre los volúmenes de las dos esferas, la de r=15 y la de r=15-0,15. V=4/ /3..14,85 3 =419,88 cm 3 Comprobando los dos valores hallados, vemos que la aproximación es buena.

10 Un cuadrado de perímetro 4 m., aumenta su lado en 1 mm. Calcula el incremento de superficie y el error que se comete cuando en vez de usar incremento se utiliza diferencial. S=S ahora -S antes =(1+0,001) =1, = =0, m 2 dS=d(l 2 )=2l.dl=2.1.0,001=0,002 m 2 El error cometido será: = S-dS=0, ,002=0,000001=10 -6 m 2

11 Veamos una nueva expresión de las derivadas: dy=f´(x).dx f´(x)=dy/dx EJEMPLOS Calcula la primera y la segunda derivada de la siguiente función dada en paramétricas: x=f(t) y=g(t) y´=dy/dx=(g´(t).dt )/ (f´(t).dt)=g´(t)/f´(t) y´´=d 2 y/dx 2 =(f´(t).g´´(t)-g´(t).f´´(t))/(f´(t)) 2

12 Halla la derivada de la siguiente función: x=a.cost y=a.sent y´=dy/dx=(a.cost.dt)/(-a.sent.dt)=-cotgt Halla la derivada segunda de la siguiente función: x=a.cost y=b.sent y´=dy/dx=(b.cost.dt)/(-a.sent.dt)=(-b/a).(cost/sent) y´´=-b/a.((-sen 2 t-cos 2 t)/sen 2 t ) =(b/a).(1/sen 2 t)

13 Dada una función f(x): F(x) es primitiva de f(x) F´(x)=f(x) Por ejemplo: Si f(x)= cosx F(x)=senx Si f(x)= x 2 F(x)=x 3 /3 Si f(x)= e x F(x)=e x Observemos que el problema de calcular la primitiva de una función es indeterminado, ya que existen infinitas primitivas de una misma función. Así, D(senx)=D(senx+1)=D(senx+k)=cosx. Todas estas primitivas se diferencian en una constante. O sea: Si F(x) es una primitiva de f(x) F(x)+k también lo es.

14 Llamamos integral indefinida de la función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función. Se representa con la notación: f(x)dx = F(x)+k A veces nos pedirán una primitiva determinada, para lo cual hemos de hallar k, cosa que podemos hacer si nos dan unas condiciones iniciales. Por ejemplo: Hallar la primitiva de la función f(x)=x 2 +2x, sabiendo que toma el valor cero para x=1. F(x)+k= (x 2 +2x)dx= x 3 /3 +x 2 +k ; F(1)=1/3 +1+k=-4/3 Luego:F(x)=x 3 /3 + x 2 - 4/3

15 Las propiedades de linealidad de las integrales, son dos, y se demuestran sin mas que tener en cuenta la definición de inte- gral y las propiedades de las derivadas de funciones: (f(x)+g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx k.f(x)dx = k. f(x)dx,, donde k es una constante.

16 Son las que se deducen inmediatamente de la definición de integral indefinida:

17 Continuación de integrales inmediatas

18 Ejemplos de integrales inmediatas.

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21 Se recomienda hacer los siguientes ejercicios:

22 De entre todos los métodos elementales de integración, vamos a estudiar detenidamente los siguientes: Integración por descomposición Integración por sustitución o cambio de variable Integración por partes.

23 Se basa exclusivamente en la linealidad de la integración. En ejercicios anteriores, ya hemos usado este método. Veamos algunos otros ejemplos: tg 2 x.dx : esta integral no figura en el cuadro de las inmediatas, pero si aparece (1+tg 2 x)dx. Hagamos entonces lo siguiente: tg 2 x.dx= (-1+1+tg 2 x)dx= -dx + (1+tg 2 x)dx= = -x+tgx+k

24 Al encontrarnos con una integral de la forma f(x)dx, a veces interesa un cambio de variable de la forma: x=g(t) dx=g´(t)dt que proporcione una integral más sencilla. La elección de x=g(t) depende de cada función particular. A continuación veremos unos ejemplos

25 Ejemplos de integración por cambio de variables

26 Sean u(x) y v(x) dos funciones que dependen de x: d(u.v)=u.dv+v.du u.dv=d(u.v)-v.du integrando los dos miembros: u.dv=u.v- v.du que es la fórmula de integración por partes Este método se emplea, principalmente, cuando el integrando es producto de dos expresiones, una algebraica y otra transcen- dente (logarítmicas, exponenciales o trigonométricas), o las dos transcendentes.En este último caso suele aparecer de nuevo la integral que se pretende calcular: método de iteración.

27 Ejemplos de integración por partes x.e 2x dx= ( el integrando es el producto de una expresión algebraica y una exponencial. Se ve claro que aplicamos la integración por partes: cambio: u=x du=dx dv=e 2x dx v=(1/2).e 2x ) la fórmula de la integración por partes nos da: =x.(1/2).e 2x - e 2x /2.dx=(x.e 2x )/2-e 4x /4+k lnx.dx= (cambio: u=lnx dv=dx du=1/xdx v=x ) =x.lnx- x.1/x.dx=x.lnx- x +k

28 Pasando la integral del 2º miembro, al primero: 2 e x cosxdx=e x senx+e x cosx e x cosxdx=1/2(e x senx+e x cosx) + k

29 La integración de expresiones racionales, trigonométricas e irracionales, lo dejamos para el año que viene. Ahora hay que hacer un montón de integrales, y practicar todo lo visto en este tema.

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