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Hallar la Familia de Curvas

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Presentaciรณn del tema: "Hallar la Familia de Curvas"โ€” Transcripciรณn de la presentaciรณn:

1 Hallar la Familia de Curvas
๐‘ฆ 4 = ๐ถ 2 ( ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ 2 )โ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(1) Derivando implรญcitamente la ecuaciรณn (1) respecto a la variable x 4 ๐‘ฆ 3 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐ถ 2 2๐‘ฅ+8๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ โ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(2) Despejando ๐ถ 2 De la ecuaciรณn (1), y reemplazando en la ecuaciรณn (2) ๐ถ 2 = ๐‘ฆ 4 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ 2 4 ๐‘ฆ 3 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฆ 4 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ 2 2๐‘ฅ+8๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ Ordenando 4 ๐‘ฆ 3 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ 2 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ =2๐‘ฅ ๐‘ฆ 4 +8 ๐‘ฆ 5 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ Factor izando 4 ๐‘ฅ 2 ๐‘ฆ ๐‘ฆ 5 โˆ’8 ๐‘ฆ 5 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ =2๐‘ฅ ๐‘ฆ 4 Simplificando 4 ๐‘ฆ 3 ๐‘ฅ 2 +2 ๐‘ฆ 2 ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ =2๐‘ฅ ๐‘ฆ 4 Simplificando nuevamente

2 2 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ 2 ๐‘ฆ โ€ฒ =๐‘ฅ๐‘ฆโ€ฆโ€ฆ(๐ด) ๐‘ฆ โ€ฒ =โˆ’ 1 ๐‘ฆโ€ฒ Condiciรณn de Ortogonalidad Reemplazando la condiciรณn en la ecuaciรณn (A) โˆ’2 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ ๐‘ฆโ€ฒ =๐‘ฅ๐‘ฆ โˆ’2 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฆ 2 =๐‘ฅ๐‘ฆ ๐‘ฆ โ€ฒ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(๐ต) La รบltima expresiรณn es una ecuaciรณn diferencial ordinaria de primer orden Homogรฉneo , por tanto haciendo un cambio de variable obtenemos . ๐‘ฆ=๐‘ข๐‘ฅ ๐‘ฆ โ€ฒ =๐‘ฅ ๐‘ข โ€ฒ +๐‘ข Reemplazando el cambio de variable en la ecuaciรณn (B) โˆ’2 ๐‘ฅ ๐‘ข๐‘ฅ 2 =๐‘ฅ(๐‘ฅ๐‘ข)(๐‘ฅ ๐‘ข โ€ฒ +๐‘ข) โˆ’2 ๐‘ฅ 2 +4 ๐‘ฅ 2 ๐‘ข 2 = ๐‘ฅ 2 ๐‘ข(๐‘ฅ ๐‘ข โ€ฒ +๐‘ข) โˆ’2 ๐‘ฅ ๐‘ข 2 = ๐‘ฅ 2 ๐‘ข(๐‘ฅ ๐‘ข โ€ฒ +๐‘ข) Simplificando m/m โˆ’2โˆ’8 ๐‘ข 2 =๐‘ฅ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข ๐‘‘๐‘ฅ + ๐‘ข 2 โˆ’ 2+9 ๐‘ข 2 =๐‘ฅ๐‘ข ๐‘‘๐‘ข ๐‘‘๐‘ฅ Separando Variables โˆ’ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ = ๐‘ข 9 ๐‘ข 2 +2 ๐‘‘๐‘ข

3 โˆ’ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘ฅ = ๐‘ข 9 ๐‘ข 2 +2 ๐‘‘๐‘ข + ๐ถ 1 Integrando m/m โˆ’๐‘™๐‘›๐‘ฅ= ln 9 ๐‘ข ๐‘™๐‘› ๐ถ 1 Multiplicando por 18 m/m โˆ’18๐‘™๐‘›๐‘ฅ= ln 9 ๐‘ข ๐‘™๐‘› ๐ถ 1 ๐‘™๐‘› ๐‘ฅ โˆ’18 =lnโก( ๐ถ 2 (9 ๐‘ข 2 +2)) Simplificando logaritmos ๐‘ฅ โˆ’18 = ๐ถ 2 (9 ๐‘ข 2 +2) ๐‘ฅ 18 = ๐ถ ๐‘ข 2 +2 ๐‘ข= ๐‘ฆ ๐‘ฅ Pero ๐‘ฅ 18 = ๐ถ ๐‘ฆ 2 ๐‘ฅ 2 +2 ๐‘ฅ 16 = ๐ถ ๐‘ฆ 2 +2 ๐‘ฅ 2 S.G.

4 2. Resolver ๐‘ 2 ๐‘ฅ 4 =๐‘ฆ+๐‘๐‘ฅ ๐‘ฆ=โˆ’๐‘๐‘ฅ+ ๐‘ 2 ๐‘ฅ 4 Ecuaciรณn de Lagrange ๐‘‘๐‘ฆ ๐‘‘๐‘ฅ =โˆ’ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ +๐‘ + 2๐‘ฅ 4 ๐‘ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ + 4๐‘ 2 ๐‘ฅ 3 ๐‘=โˆ’๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ โˆ’๐‘+ 2๐‘ฅ 4 ๐‘ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ + 4๐‘ 2 ๐‘ฅ 3 2๐‘โˆ’4 ๐‘ 2 ๐‘ฅ 3 =(2 ๐‘ฅ 4 ๐‘โˆ’๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ โˆ’2๐‘ 2๐‘ ๐‘ฅ 3 โˆ’1 =๐‘ฅ(2๐‘ ๐‘ฅ 3 โˆ’1) ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ Simplificando โˆ’2๐‘=๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ ๐‘‘๐‘ฅ Separando Variables โˆ’ 2 ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ= 1 ๐‘ ๐‘‘๐‘ Integrando m/m

5 โˆ’ 2 ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = 1 ๐‘ ๐‘‘๐‘ +๐ถ ๐‘™๐‘› ๐‘ฅ โˆ’2 =๐‘™๐‘›๐‘๐ถ โˆ’2๐‘™๐‘›๐‘ฅ=๐‘™๐‘›๐‘+๐‘™๐‘›๐ถ ๐‘ฅ โˆ’2 =๐‘๐ถ ๐‘= 1 ๐ถ ๐‘ฅ 2 Reemplazando el resultado en nuestro problema: ๐‘ฆ=โˆ’๐‘๐‘ฅ+ ๐‘ 2 ๐‘ฅ 4 ๐‘ฆ=โˆ’๐‘ฅ 1 ๐ถ ๐‘ฅ ๐ถ 2 ๐‘ฅ 4 ๐‘ฅ 4 ๐‘ฆ=โˆ’ 1 ๐ถ๐‘ฅ + 1 ๐ถ 2 S.G.

6 3. Resolver ๐‘ฅ= ๐‘ฆ ๐‘ + ๐‘ 2 Multiplicando por p m/m ๐‘ฆ=๐‘ฅ๐‘โˆ’ ๐‘ 3 Ecuaciรณn de Clairaut Toda ecuaciรณn de Clairaut tiene 2 soluciones Una Soluciรณn Singular y Una Soluciรณn General Soluciรณn General : Es simplemente hacer ๐‘=๐ถ y debe reemplazarse en la Ecuaciรณn de Clairaut, por tanto: ๐‘ฆ=๐‘ฅ๐ถโˆ’ ๐ถ 3 Soluciรณn Singular: En la S.S. simplemente debe derivarse parcialmente En la ecuaciรณn de Clairaut, por tanto: 0=๐‘ฅโˆ’3 ๐‘ 2 Despejando p en funciรณn de x ๐‘ 2 = ๐‘ฅ 3 Este resultado debe ser reemplazado en la ecuaciรณn de Clairaut ๐‘ฆ=๐‘ฅ๐‘โˆ’ ๐‘ 3 ๐‘ฆ=๐‘ฅ๐‘โˆ’ ๐‘ 2 ๐‘=๐‘ ๐‘ฅโˆ’ ๐‘ 2 =๐‘(๐‘ฅโˆ’ ๐‘ฅ 3 )

7 ๐‘ฆ=๐‘ 2๐‘ฅ 3 Elevando al cuadrado m/m obtenemos ๐‘ 2 = ๐‘ฅ 3 ๐‘ฆ 2 = ๐‘ 2 4 ๐‘ฅ 2 9 Reemplazando nuevamente ๐‘ฆ 2 = ๐‘ฅ 3 4 ๐‘ฅ 2 9 ๐‘ฆ 2 = 4 ๐‘ฅ 3 27 S.S.

8 4. Resolver: ๐ท 5 + ๐ท 4 โˆ’7 ๐ท 3 โˆ’11 ๐ท 2 โˆ’8๐ทโˆ’12 ๐‘ฆ=0 Ecuaciรณn Caracterรญstica ๐ท 5 + ๐ท 4 โˆ’7 ๐ท 3 โˆ’11 ๐ท 2 โˆ’8๐ทโˆ’12=0 Para hallar las raรญces de un polinomio de grado 5, simplemente debe aplicarse El mรฉtodo de Rufinni, por tanto hallando las raรญces encontramos: ๐ท ๐ทโˆ’3 ๐ท 2 +1 =0 Si observamos detenidamente, la ultima expresiรณn podemos afirmar que : Existen 2 raรญces en -2 1 raรญz en 3 Y 2 raรญces de tipo complejo ๐ท 1 =โˆ’2 ๐ท 3 =3 ๐ท 2 =โˆ’2 ๐ท 4,5 =ยฑ๐‘– Por รบltimo la soluciรณn Complementaria es: ๐‘ฆ= ๐ถ 1 ๐‘’ โˆ’2๐‘ฅ + ๐ถ 2 ๐‘ฅ ๐‘’ โˆ’2๐‘ฅ + ๐ถ 3 ๐‘’ 3๐‘ฅ + ๐ถ 4 ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ+ ๐ถ 5 ๐‘ ๐‘–๐‘›๐‘ฅ

9 5. Resolver: ๐ท 3 + ๐ท 2 โˆ’4๐ทโˆ’4 ๐‘ฆ=3 ๐‘’ โˆ’๐‘ฅ โˆ’4๐‘ฅโˆ’6 Este tipo de ecuaciรณn diferencial tiene 2 soluciones ๐‘ฆ ๐บ = ๐‘ฆ ๐‘ + ๐‘ฆ ๐‘ Las raรญces de la ecuaciรณn caracterรญstica es: ๐ท+2 ๐ท+2 ๐ท+1 =0 Por tanto la Soluciรณn complementaria es: ๐‘ฆ ๐‘ = ๐ถ 1 ๐‘’ โˆ’2๐‘ฅ + ๐ถ 2 ๐‘ฅ ๐‘’ โˆ’2๐‘ฅ + ๐ถ 3 ๐‘’ โˆ’๐‘ฅ


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