MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales

Presentación del tema: "MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales"— Transcripción de la presentación:

1 MÉTODOS NUMÉRICOS 2.4 Sistemas de ecuaciones no lineales
Gustavo Rocha 2005-2

2 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) y* v(x, y) x* x

3 SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
(2, 3)

4 MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y).

5 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) v(x, y) x

6 MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y). La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).

7 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) y* v(x, y) x* x

8 MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Considera la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y). La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y). El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz. El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x. revisar

9 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y y1 revisar u(x, y) y3 y2 v(x, y) x2 x3 x1 x

10 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y y1 revisar u(x, y) y3 y2 v(x, y) x2 x3 x1 x

11 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y y1 revisar u(x, y) y3 y2 v(x, y) x2 x3 x1 x

12 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
iteración xi yi e(%) e*(%) 1 1.5 3.5 25.00 16.67 2 8.97 31.18 4.65 22.36 3 2.97 12.31 1.65 6.20 4 1.02 3.96 0.55 2.22 5 0.35 1.38 0.19 0.74 6 0.12 0.47 0.06 0.26 7 0.04 0.16 0.02 0.09 8 0.01 0.05 0.03 9 0.00 10 x = 2 y = 3

13 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge. x = (57 - y)/3y2 y = (10 - x2)/x iteración xi yi e(%) e*(%) 1 1.5 3.5 25.00 16.67 2 27.21 3.04 72.22 32.26 3 67.64 124.92 80.45 4.56 x = (10 - x2)/y y = xy2 iteración xi yi e(%) e*(%) 1 1.5 3.5 25.00 16.67 2 10.71 32.26 912.50 114.36 3 110.46 105.67

14 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y x

15 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) v(x, y) x

16 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

17 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) y1 v(x, y) x1 x

18 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).

19 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y v(x1, y) u(x, y) u(x1, y) y1 v(x, y1) u(x, y1) v(x, y) x1 x

20 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)

21 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y v(x1, y) u(x, y) u(x1, y) y1 v(x, y1) u(x, y1) v(x, y) x1 x

22 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1) El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones

23 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) y2 y1 v(x, y) x1 x2 x

24 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1). Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1) El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.

25 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y u(x, y) y2 y1 v(x, y) x1 x2 x

26 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales. Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz. Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:

27 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Pero ui+1 = vi+1 = 0 : Que reescribiendo en el orden conveniente:

28 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Y cuya solución es: Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

29 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy = 0 iteración xi yi ui vi ¶u/¶x ¶u/¶y ¶v/¶x ¶v/¶y Jacobiano 1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 36.75 32.5 2 3 4 E-06 E-05 5 E-12 7 27 37 205 iteración ex(%) ex*(%) ey(%) ey*(%) 1 25 16.67 2 1.8 26.33 5.2 23.07 3 0.06 1.87 0.08 5.28 4 5 x = 2 y = 3

30 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
y x