La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

Tema III: Solución de ecuaciones no lineales Método de la Bisección Método de Newton Método de la Secante Método de Regula Falsi Método de Sustitución.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "Tema III: Solución de ecuaciones no lineales Método de la Bisección Método de Newton Método de la Secante Método de Regula Falsi Método de Sustitución."— Transcripción de la presentación:

1 Tema III: Solución de ecuaciones no lineales Método de la Bisección Método de Newton Método de la Secante Método de Regula Falsi Método de Sustitución Sucesiva

2 ¿Qué buscan estos métodos? Hallar raíces de funciones, f(x)=0 Caso particular: Funciónes polinómicas Primer Grado: ax + b = 0 -> una raíz x=-b/a Segundo Grado: ax 2 + bx + c -> dos raíces Tercer Grado: ax 3 + bx 2 + cx + d -> tres raíces

3 Método de Bisección Definición: Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Consiste en partir de un intervalo [x 0,x 1 ] tal que f(x 0 )f(x 1 ) < 0. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo, hasta que sea menor al error (Tolerancia). X f(X) X1X1 XoXo Cambio de Signo de f(x) X f(X) X1X1 XoXo X X1X1 XoXo

4 Método de Bisección Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error Raíces: x=1, x=2, x=-1 0 3/2

5 Método de Bisección No: Sigo Si: Fin Si X 0 =m No X 1 =m m X1X1 X0X0

6 Método de Bisección 01.5 No No No No No Si

7 Método de Bisección Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error Raíces: x=1, x=2, x=-1 0 3/2

8 Método de Bisección -202No 01No No No No Si

9 Método de Bisección Ventajas del Método Algoritmo muy sencillo Muy estable (Está garantizada su convergencia) Desventajas del Método De muy lenta convergencia

10 Método de Newton Definición: Partiendo de un punto x 0, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x 0,f(x 0 )) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x 0 ) Raíz

11 Método de Newton Ejemplo: Hallar por el método de newton la raíz de la siguiente función partiendo de x 0 = 3 con un error Raíces: x=1, x=2, x=-1 0 3/2

12 Método de Newton No No No Si

13 Método de Newton Zoom

14 Método de Newton Ventajas del Método Convergencia muy rápida Desventajas del Método Muy inestable (No se garantiza la convergencia) La función debe ser derivable y contínua Se requiere conocer la primera derivada de la función

15 Método de Newton Inestabilidad del Método de Newton X0X0 X1X1 X0X0 X2X2 X1X1 (A)(B) A : No se alcanza la convergencia B : Converge pero fuera de la raíz

16 Método de la Secante Definición: Partiendo de dos puntos [x 0,f(x 0 )] y [x 1,f(x 1 )]. El método de la secante utiliza una aproximación de la pendiente mediante la expresión: Raíz

17 Método de la Secante Ejemplo: Hallar por el método de la secante la raíz de la siguiente ecuación partiendo de X 0 = 0 y X 1 = 3/2 con error Raíces: x=1, x=2, x=-1 0 3/2

18 Ejemplo: No No No Si

19 Método de la Secante Ventajas del Método Convergencia muy rápida, aunque no tan rápida como El Método de Newton -No requiere conocer la derivada de la función Desventajas del Método Muy inestable (No se garantiza la convergencia)

20 Método Regula Falsi (Falsa Posición) Definición: Es un método similar al de bisección, con la diferencia que en vez de tomar el punto medio, se toma como nuevo valor, la intersección con el eje x de una línea recta formada por los dos puntos del intervalo. X f(X) X1X1 XoXo X2X2 0 x2x2

21 Método Regula Falsi (Falsa Posición) Ejemplo: Hallar por el método Regula Falsi la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error Raíces: x=1, x=2, x=-1 0 3/2

22 Método Regula Falsi (Falsa Posición) No No Si

23 Método Regula Falsi (Falsa Posición) Ventajas del Método Convergencia intermedia, más rápido que el método de bisección, aunque no tan rápida como el Método de Newton o de la Secante. -Muy estable Desventajas del Método Como converge a partir de un sólo extremo del intervalo, si ese extremo se encuentra muy lejos de la raíz, la convergencia sería mucho más lenta.

24 Método de Sustitución Sucesiva Definición: Dada una función f(x), la idea es reemplazar la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) (Si s es una solucion de f(x), entonces s = f(s)). Se calcula x 1 a partir de x 0 y se repite el proceso, esta vez con el nuevo valor x 1, hasta que |x 1 – x 0 |

25 Método de Sustitución Sucesiva Condiciones para Aplicación del Método: 1.Partiendo de un intervalo I = [a,b], tal que para todo x Є I, se debe cumplir que g(x) Є I a)La función de iteración g(x) debe ser continua sobre I=[a,b]. a)La función de iteración es diferenciable sobre I = [a,b]. Además, existe una constante no negativa K < 1 tal que para todo x Є I, | g(x) | K < 1

26 Método de Sustitución Sucesiva Zoom -4, ,1622

27 Método de Sustitución Sucesiva Raíz Intervalo [1,4] g(x) Pertenece a [1,4] ?

28 Método de Sustitución Sucesiva Raíz

29 Método de Sustitución Sucesiva Ejemplo: Hallar por el método de la sustituciones sucesivas la raíz de la siguiente ecuación partiendo de x 0 = 3/2 con un error Raíces: x=1, x=2, x=-1 0 3/2

30 Método de Sustitución Sucesiva X=

31 Ejemplo: No No No No No No No No No No No Si

32 Método de la Sustitución Sucesiva Ventajas del Método -Convergencia rápida (dependiendo de la g(x)) -No requiere conocer la derivada de la función Desventajas del Método Muy inestable (No se garantiza la convergencia) Depende de una escogencia adecuada de la g(x)


Descargar ppt "Tema III: Solución de ecuaciones no lineales Método de la Bisección Método de Newton Método de la Secante Método de Regula Falsi Método de Sustitución."

Presentaciones similares


Anuncios Google