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1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 1: PROBABILIDAD Material de partida: Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística.

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2 1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 1: PROBABILIDAD Material de partida: Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 1)

3 2 ¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Rusell Probabilidad Dominar la fortuna La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente. El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

4 3 La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos son de la misma clase que, por ejemplo, los de la Geometría o la Mecánica Analítica. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teoría: a) el contenido lógico-formal, b) el antecedente intuitivo, c) las aplicaciones. El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados. William Feller, Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones.

5 4 El hombre del tiempo: La probabilidad de que llueva este sábado es del 50% y de que llueva en domingo también es del 50%. Así que la probabilidad de que llueva el fin de semana es del 100%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva el fin de semana suponiendo independencia entre los sucesos: "lloverá el sábado" y "lloverá el domingo"?

6 5 Si un gato puede ser macho o hembra y hay cuatro gatos, tenemos 2 4 = 16 posibilidades: HHHH MMMM Probabilidad de que todos sean del mismo sexo = 2/16 = 1/8 HHHM HHMH HMHH MHHH MMMH MMHM MHMM HMMM Probabilidad descomposición (3-1) = 8/16 = 1/2 HHMM HMHM HMMH MHHM MHMH MMHH Descomposición (2-2) = 6/16 = 3/8 Hemos contado los 16 casos posibles y 1/8 + 1/2 + 3/8 = 1. A casi todo el mundo le sorprende que en familias de cuatro hijos haya tres del mismo sexo.

7 6 Probabilidad de que todos sean del mismo sexo: Probabilidad descomposición (3-1): Probabilidad descomposición (2-2):

8 7 Es un hecho destacable que una ciencia que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento humano. Pierre Simon Laplace, Théorie Analytique des Probabilités. La base de la comprensión de la probabilidad no aparece hasta mediados del siglo XVI, y el tema no se discute con profundidad hasta casi un siglo después. Los historiadores se preguntan por qué el progreso mental en este campo fue tan lento, dados que los seres humanos se han visto confrontados con el azar una y otra vez desde los primeros tiempos. Deborah J. Bennett, Aleatoriedad.

9 8 Antoine Gambaud, Chevalier de Mère, planteó uno de los problemas más antiguos de la teoría de probabilidad al filósofo y matemático francés Blaise Pascal: ¿Qué es más probable? (a)Sacar al menos un 6 al tirar 4 veces un solo dado o (b)sacar un 12 en 24 tiradas de 2 dados. A pesar de que Pascal había renunciado a las matemáticas por considerarlas una forma de deleite sexual (¡!), aceptó resolver el problema:

10 9 Pascal, a raíz de esta cuestión, comenzó una correspondencia epistolar sobre cuestiones probabilísticas con otros matemáticos amigos, sobre todo con Fermat. Esta correspondencia puede considerarse el origen de la teoría de probabilidades. Programa DeMere1 Programa DeMere2

11 10 Experimento aleatorio Entenderemos por experimento aleatorio ( ) cualquier situación que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori. Por ejemplo: * Lanzar un dado. * Extraer una carta de una baraja. * Se lanza una moneda. Si sale cara se extrae de una urna U1, con una determinada composición de bolas de colores, una bola y si sale cruz de extrae de una urna U2, con otra determinada composición de bolas de colores, una bola.

12 11 Sucesos o eventos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral Experimento aleatorio: lanzar un dado. Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Distinguiremos entre sucesos simples (o indivisibles) y compuestos (o divisibles). Por ejemplo: el suceso A = que el resultado sea par: A = {2, 4, 6} es un suceso compuesto. Se llama suceso complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A. será: que el resultado sea impar, = {1, 3, 5}.

13 12 Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda. Si sale cara, se extrae de una urna que contiene bolas azules y rojas una bola, y si sale cruz, se extrae una bola de otra urna que contiene bolas rojas y verdes. ¿Cuál es el espacio muestral de dicho experimento aleatorio? = {(C,R), (C,A), (+,R), (+,V)}

14 13 Frecuencia relativa: experimento, A suceso Idea (experimental) de Probabilidad Ley del azar: A medida que n aumenta, f A tiende a estabilizarse alrededor de un valor determinado, denomininado probabilidad de ocurrencia del suceso A:

15 14 Definición frecuencial Definición clásica Definición axiomática Definiciones de Probabilidad Interpretación frecuentista: probabilidad como cualidad objetiva de los fenómenos aleatorios independiente de las expectativas del observador Otras interpretaciones filosóficas: probabilidad subjetiva (bayesiana) (probabilidad lógica, fiducial,...)

16 15 Probabilidad frecuencial Inconvenientes: - Definición a posteriori - n siempre finito

17 16 Laplace define la probabilidad de un suceso A como el cociente: Probabilidad clásica (I) Ventajas: definición a priorística Inconvenientes: - Sólo si |A|, | | finitos - Exige sucesos elementales equiprobables

18 17 Dado: ¿Cuál es la probabilidad P(A) de A = un número mayor o igual a 5?¿Y la probabilidad de B = número impar? Solución: Los seis casos posibles son igualmente probables, cada uno tiene probabilidad 1/6. P(A) = 2/6 = 1/3 pues A ={5,6} tiene dos casos favorables. P(B) = 3/6 = 1/2 pues B = {1, 3, 5} tiene tres casos favorables Probabilidad clásica (II)

19 18 Probabilidad clásica (III) A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy útil para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo) Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables: Definir un experimento aleatorio ficticio añadiendo aspectos quizás no observables

20 19 Ejemplo: espacio muestral para sucesos elementales equiprobables y aplicar Regla de Laplace Experimento: lanzar dos dados y obtener la suma de las puntuaciones obtenidas Espacio muestral = {2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10,11,12}. Sucesos no equiprobable: ej.: suma 12 sólo 6 y 6 suma 8, puede ser 6 y 2, 5 y 3 ó 4 y 4 Nuevo espacio muestral (quizás no obervable, sólo observable la suma) ´= {1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:2 2:3, 2:4, 2:5, 2:6, 3:3, 3:4, 3:5 3:6, 4:4, 4:5, 4:6, 5:5, 5:6, 6:6}

21 20 Pero estos 21 resultados siguen sin ser equiprobables sólo hay una forma de que aparezca 5:5 pero 3:4 puede aparecer 3 en un dado y cuatro en el otro, o al revés Nuevo espacio muestral cómo si un dado fuese blanco y otro fuese negro ´´= { 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 2:1, 2:2, 2:3, 2:4, 2:5, 2:6, 3:1, 3:2, 3:3, 3:4, 3:5, 3:6, 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6, 5:1, 5:2, 5:3, 5:4, 5:5, 5:6, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 6:5, 6:6} Ahora sí puede suponerse que los resultados son equiprobables, probabilidad atribuida 1/36 A = {suma 7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}

22 21 Probabilidad clásica (III-cont) A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy útil para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo) Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables: Definir un experimento aleatorio ficticio añadiendo aspectos quizás no observables Pero: para manejarse en este espacio mayor (quizás) con elementos equiprobables es necesario saber contar -> Combinatoria

23 22 Saber Contar Regla de Laplace (Definición clásica) Ejemplo: Espacio muestral discreto y finito, con n sucesos simples: ¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

24 23 Principio multiplicativo (ilustración gráfica) El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a 1 y a 2. El segundo de tres maneras distintas: b 1, b 2 y b 3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c 1 y c 2. El total de posibilidades será: = 12 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 b1b1 b2b2 b3b3 b1b1 b3b3 b2b2 a1a1 a2a2

25 24 = {a,b,c} Espacio muestral discreto y finito, con n=3 sucesos simples Sucesos compuestos: Principio multiplicativo El total de subconjuntos posibles será: = 8 para n elementos : 2 n b no-b a no_a b no-b c no-c c c c {a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø}

26 25 Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

27 26 La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. Introducción a la combinatoria Ian Anderson Combinatoria El arte de contar

28 27 Combinatoria-I (simple) Número de formas de colocar n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o extraer r elementos de un conjunto de n objetos) Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones Permutaciones/Variaciones: El orden importa ab es distinto a ba Combinaciones: El orden no importa ab se considera igual a ba Tanto las Permutación, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repetición (o reposición) de los objetos o elementos: aa bb Permutaciones/Variaciones/Combinaciones con/sin repetición

29 28 Combinatoria-II (simple) Variaciones: El orden importa Variaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden. Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1) {a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6 {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 3 2 =9 Variaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, y pudiendo repetirse. Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos

30 29 Combinatoria-III (simple) Permutaciones sin repetición (recordad 0! = 1): Permutaciones con repetición: {a,b,c} Permutaciones sin repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6 {a,b,c} Permutaciones con repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 3 3 =27 Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones)

31 30 Combinatoria-IV (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden {a,b,c} escoger r=2 de n=3 –sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3 En las Combinaciones, al no importar el orden, el número de Variaciones se reduce en un factor igual al número de ordenaciones de los r elementos:

32 31 Combinatoria-V (simple) Combinaciones: El orden no importa {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6 Combinaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse.

33 32 Ejemplos

34 33 Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? (Sucesos equiprobables) Nº casos posibles: El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen n n maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n accidentes en n días, un accidente cada día....

35 34 Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? Para siete accidentes de tráfico en una semana: p(7) = 7! / 7 7 = (anti-intuitivamente baja) Nº casos posibles: n n El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen n n maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repetición de n-elementos tomados de n en n: n!

36 35 ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un número enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × Explosión combinatoria Nota: 0! = 1

37 36 Fórmula de Stirling La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, queStirlingApproximations imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición. James Stirling presentó su fórmula en Methodus Differentialis publicado en 1730.

38 37 Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables). Casos posibles: VR 10,7 = 10 7 Casos favorables: V 10,7 = n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7 El orden importa – Variaciones Favorables: Dos no en el mismo piso -> no repetición

39 38 Algunas Propiedades El binomio de Newton (a + b) 2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. (a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

40 39 Teorema del binomio Demostrar:

41 40

42 41

43 42

44 43

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46 45

47 46

48 47 Recapitulación: Experimento aleatorio ( ) resultado imposible de predecir a priori. Espacio muestral El conjunto de todos los resultados posibles Suceso o evento (A) a un subconjunto de dichos resultados. Probabilidad frecuencial Probabilidad clásica

49 avanzar hacia una Teoría Matemática completa.....

50 49 Sucesos o eventos Espacio muestral conjunto de todos los resultados posibles se – Espacio muestral discreto (finito o infinito numerable) Lanzar un dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. –Espacio muestral continuo (infinito no numerable) Tiempo en pararse el dado = {t R / t>=0} A=[t 1,t 2 ] subconjuntoA suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. –sucesos simples (o indivisibles) –compuestos (o divisibles).

51 50 Relaciones y operaciones entre sucesos

52 51 Relaciones entre sucesos Implicación o inclusión – A B siempre que se verifica A se verifica B (todos los resultados de A pertenecen a B ) (En A B al menos un elemento de B no exite en A ; sino A B Igualdad –A B si A B y B A A B y B A

53 52 Operaciones entre sucesos ( Diagramas de Venn) A B Unión A B E A B Intersección A B E A={1,3,5}, B={5,6} E={1,2,3,4,5,6} E BA Sigamos con el dado: Sucesos A= Un número impar, B= Un número mayor que 4. Suceso contrario a A : ={2, 4, 6} ={1, 2, 3, 4} A B ={1, 3, 5, 6} A B = {5} ={2, 4} = {1, 2, 3, 4, 6}

54 53 Se llama suceso unión de A y B, A B, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). Se llama suceso intersección de A y B, A B, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B. Ø suceso imposible (no contiene resultados) A Ø = A y A Ø= Ø para cualquier suceso posible A Dos sucesos son mutuamente excluyentes o incompatibles si A B = Ø (no contienen resultados comunes) Observemos que un suceso y su complementario son siempre mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio. A = Ø, A = La unión y la intersección de múltiples sucesos se define de forma similar:

55 54 ¿Cuál será la probabilidad de dos sucesos mutuamente excluyentes? X 12, Y 3456,,, Y X Ø XY

56 55 La diferencia básica en el papel de la Probabilidad matemática en 1946 y en 1988 es que hoy en día es aceptada como Matemática, mientras que en 1946, para la mayoría de los matemáticos, la Probabilidad era a las Matemáticas como el mercado negro es al mercado: esto es, la Probabilidad era una fuente de matemáticas interesantes, pero el análisis del contexto de fondo era algo poco recomendable. J. L. Doob, A Century of Mathematics in America, Part II (Peter Duren, ed.)

57 56 La Teoría de la Probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser desarrollada a partir de unos axiomas, de la misma manera que la Geometría o el Álgebra. Andrei Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability.

58 57 -álgebra de sucesos Espacio muestral conjunto de todos los resultados posibles se subconjunto(A) suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. F conjunto de sucesos no genera problemas para discreto (finito o numerable), pero sí para continuo (espacio euclídeo R k, problema de la medida-subconjuntos área nula) F debe ser - álgebra de Borel : F álgebra de sucesos –Si F => F F cerrada por cualquier secuencia de operaciones conjuntistas entre sus miembros ( es un algebra de Boole)

59 58 Precisamos como definición de probabilidad una que sea independiente del experimento concreto bajo estudio, lo cual permite elaborar a partir de ella una Teoría Matemática completa que permita el estudio de cualquier fenómeno aleatorio

60 59 Definición axiomática de probabilidad Espacio muestral ligado a experimento aleatorio F álgebra de sucesos Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A del F álgebra de sucesos un valor numérico P(A) ( R), P: F R A F P(A) R verificando los siguientes axiomas: (1) No negatividad: 0 P(A) (2) Normalización: P( ) = 1 (3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío) Kolmogorov, 1933 (!)

61 60 Definición axiomática de probabilidad (1) No negatividad: 0 P(A) (2) Normalización: P( ) = 1 (3) Aditividad: P(A B) = P(A) + P(B) si A B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío) F - álgebra (álgebra de sucesos) Si F y Espacio de probabilidad o espacio probabilístico

62 61 Demostrar que: P( )= 0 (Utilizar: = ) Suceso seguro Suceso Imposible P( ) = P( U )= P( )+P( ) = 1+ P( ) P( )= 0 Demostrar que: 0 P(A) 1 1= P( ) = P(A U )= P(A )+ P( ) P(A ) 1 Demostrar que: A B =>P(A) P(B) B= A (B )

63 62 ¿Sabiendo la probabilidad P(A) de un suceso A, cuál será la de su complementario ? A Teorema de la probabilidad complementaria Para un suceso A y su complementario en el espacio muestral : P( ) = 1 - P(A) Demostración: Por definición de complementario = A y A = Ø. A partir de los axiomas 2 y 3 1 = P( ) = P(A )= P(A) + P( ) de modo que P( ) = 1 - P(A)

64 63 El suceso A c (ninguna cara) tiene solo una posibilidad. Entonces P(A c ) = 1/32 y la respuesta es: P(A) = 1 - P( ) = 31/32. Lanzamiento de monedas Cinco monedas se lanzan simultáneamente. Encuentra la probabilidad del suceso A: Al menos sale una cara. Asumimos que las monedas no está cargadas. Solución: Puesto que cada moneda puede aparecer como cara o cruz, el espacio muestral consiste en 2 5 = 32 posibilidades. Como las monedas no están cargadas cada posibilidad tiene la misma probabilidad de 1/32.

65 64 Probabilidad Conjunta y Condicional Probabilidad Conjunta Probabilidad Condicional Probabilidad Total Teorema de Bayes Teorema de la multiplicación

66 65 Otras maneras de visualizar sucesos Tablas de contingencia: Diagramas en árbol: Baraja Cartas Rojas Cartas Negras No As As No As Negro Color Palo Rojo Total As 2 24 No-As Total 26 52

67 66 Recordemos el restaurante de Emile. Supongamos que el 80% de los clientes escogen sopa como entrante y el 20% zumo. De los que escogen sopa, el 20% eligen vegetales, el 30% pescado y el 50% carne. De los que escogieron zumo, es el 30%, 40% y 30% para vegetales, pescado y carne respectivamente. Podemos utilizar estos valores para estimar las probabilidades de los dos primeros platos usando un diagrama de árbol.

68 67 Probabilidad CONJUNTA DE: dos sucesos QUE NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES A y B en el espacio muestral: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Demostración: En la imagen podemos ver que A = C D y B = D E. Así que C, D, E son disjuntos. Por el axioma 3 P(A) = P(C) + P(D) y P(B) = P(D) + P(E) C E D A B Sumando: P(A) + P(B) = P(C) + P(D) + P(D) + P(E) Restando P(D) a ambos lados: P(A) + P(B) - P(D) = P(C) + P(D) + P(E), es decir: P(A) + P(B) - P(A B) = P(A B)

69 68 PROBABILIDAD CONJUNTA: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(B A) = P(B) + P(A) - P(B A) < P(B) + P(A) La igualdad se da si son MUTUAMENTE EXCLUYENTES: A B = Ø y = P(A B) = P( Ø )=0 C E D A B

70 69 Regla de la adición

71 70 Varias demostraciones de la regla de la adición: Método de generalización Método de inclusión-exclusión Método de inducción

72 71 Método de Generalización

73 72 Repitiendo el proceso para n sucesos obtenemos la regla de adición. Sustituyendo en la expresión anterior:

74 73 Método de inclusión-exclusión Dados dos eventos cualesquiera, y, la probabilidad de la unión de ambos es: Queremos obtener la fórmula anterior en el caso de N eventos, es decir, para : Definimos: Expresaremos la suma de las p con r subíndices como : La fórmula a demostrar nos queda como:

75 74 Para calcular sumaríamos las probabilidades de todos los puntos muestrales que están contenidos en por lo menos uno de los, pero cada punto debe tomarse solamente una vez. Tomamos primero los puntos contenidos sólo en un suceso, a continuación los contenidos en exactamente dos, y así sucesivamente hasta el final, donde tomamos los puntos (si los hay) contenidos en todos los sucesos. Sea un punto x cualquiera que pertenezca a n de los sucesos,su probabilidad sería: Falta demostrar que y para ello nos fijamos en: Entonces para que sea (1-1)=0:

76 75 Método de inducción Se demuestra que para N=2: Para N=3: Suponiendo cierta la propiedad para N:

77 76 Y observando que : Consta de sumandos Hay que comprobar que se cumple para N+1: Para ello, supongamos que uno de los sucesos A 1 es unión de otros dos: Obsérvese que en la expresión para N sucesos, podemos separarlo en:

78 77 Para cada uno de los términos del primer sumatorio, formado por la intersección de n sucesos, uno de ellos A 1, se puede descomponer en: En donde este último sumando consta de n+1 sucesos. Entonces estará formado por: oLa suma de n sucesos distintos de A 1 que son oLa suma de n sucesos: y n-1 distintos: oLa suma de n sucesos:, y n-2 distintos: obtenidos del sumatorio: al sustituir A 1 por

79 78 En total estaría formado por Teniendo en cuenta la propiedad: Que es el número de sumandos que debe tener

80 79 Inspira profundamente. Al hacérsele al filósofo griego Anaxágoras (nacido el año 428 antes de nuestra era) la pregunta de cuál sería el mejor modo de que se acordasen de él, dijo: Que los alumnos celebren un día de vacaciones anualmente en mi honor. (Diccionario de últimas palabras, Werner Fuld). ¿Cuál es la probabilidad de que hayas inhalado al menos una de las moléculas que Anaxágoras empleó para pronunciar esa frase? ¡Más del 99%! En más de 2000 años las moléculas se habrán repartido uniformemente por la atmósfera. Sea A = n = # moléculas exhaladas por Anaxágoras = # moléculas inspiradas por ti = 1/30 litro = 2,2 ·10 22 N = # moléculas de la atmósfera = P(una molécula inhalada no sea de Anaxágoras) = 1- A/N P(n moléculas inhaladas ninguna de Anaxágoras) = (1 - A/N) n P(inhalar al menos una de las moléculas de Anaxágoras) = 1- (1 - A/N) n Todos estamos conectados...

81 80 Society Nodes: individuals Links: social relationship (family/work/friends/ etc.) Social networks: Many individuals with diverse social interactions between them.

82 81 Social networks Contacts and Influences Poll & Kochen (1958) – How great is the chance that two people chosen at random from the population will have a friend in common? – How far are people aware of the available lines of contact? The Small-World Problem – Milgram (1967) – How many intermediaries are needed to move a letter from person A to person B through a chain of acquaintances? – Letter-sending experiment: starting in Nebraska/Kansas, with a target person in Boston.

83 82 Social networks: Milgrams experiment 160 letters: From Wichita (Kansas) and Omaha (Nebraska) to Sharon (Mass) Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) who is more likely than you If you do not know the target person on a personal basis, do not try to contact him directly. Instead, mail this folder to a personal acquaintance who is more likely than you to know the target person.

84 83 ¡ El mundo es un pañuelo ! Cest petit le monde !! What a Small-World ! Six degrees of separation

85 84 The Small World concept in simple terms describes the fact despite their often large size, in most networks there is a relatively short path between any two nodes.

86 85 El número de Erdös Fue autor o coautor de art í culos matem á ticos y colabor ó en ellos con un total de 493 coautores distintos. S ó lo un matem á tico en la historia escribi ó m á s p á ginas de matem á ticas originales que Erd ö s. En siglo XVII, el suizo Leonhard Euler, padre de trece ni ñ os, escribi ó ochenta vol ú menes de resultados matem á ticos. Pál Erdös Pál Erdös ( )

87 86

88 87 Coincidencias ¿Cuántas personas escogidas al azar hacen falta para tener la certeza de que dos cumplen años el mismo día? Si un año tiene 365 días (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366 personas. ¿Y si quiero tener una probabilidad del 50%? El número de posibles: n fechas de 365 (casos posibles) es: n fechas distintas de 365 (casos no favorables) es: Con n = 23 esta probabilidad se hace aproximadamente 0,5.

89 88 ¿Y si fijamos la fecha? Por ejemplo, yo nací el 21 de marzo, ¿cuántas personas son necesarias en un grupo para alcanzar el 50% de probabilidad de que al menos una haya nacido el mismo día que yo? Para n = 253 esta probabilidad es aproximadamente del 50%. Moraleja: mientras que es probable que ocurra algún hecho improbable, lo es mucho menos que se dé un caso concreto.

90 89 (1) Probabilidad de que al menos haya coincidencia en un cumpleaños Calcularemos la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia y utilizaremos el complementario. [1,...,1] [0,...,0] (23) (342) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar dos grupos con 23 urnas de tipo 1 y 342 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! formas distintas de colocar las bolas en las urnas tipo 1. Casos favorables Entonces, la probabilidad de que no haya coincidencia es: La probabilidad de que haya al menos un par de personas con el mismo día de cumpleaños será:

91 90 (2) Probabilidad de que haya precisamente una coincidencia y solo una [2] [1,...,1] [0,...,0] (1) (21) (343) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 1 urna de tipo 2, 21 urnas de tipo 1 y 343 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /2! formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente una coincidencia es:

92 91 (3) Probabilidad de que haya precisamente dos coincidencias [2,2] [1,...,1] [0,...,0] (2) (19) (344) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 2 urnas de tipo 2, 19 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /(2!) 2 formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:

93 92 (4) Probabilidad de que haya precisamente tres coincidencias [2,2,2] [1,...,1] [0,...,0] (3) (17) (345) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 3 urnas de tipo 2, 17 urnas de tipo 1 y 345 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /(2!) 3 formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:

94 93 (5) Probabilidad de que haya precisamente una triple coincidencia [3] [1,...,1] [0,...,0] (1) (20) (344) De las 365 urnas, ¿de cuántas maneras podemos formar tres grupos con 1 urna de tipo 3, 20 urnas de tipo 1 y 344 de tipo 0? Ahora, para cada configuración anterior tenemos: 23! /3! formas distintas de colocar las bolas: Casos favorables Entonces, la probabilidad de que haya exactamente dos coincidencias es:

95 94 Fútbol: dos equipos + árbitro = partidos "Coincidences: the truth is out there" Robert Matthews, and Fiona Stones.

96 95

97 96 Que a algún televidente se le repare milagrosamente ese reloj viejo que hacía años que no funcionaba es más probable que se le repare concretamente a Perico de los Palotes. Por este motivo las predicciones de los magufos son vagas. Las concretas raramente se hacen realidad. (ARP: Alternativa racional a las pseudociencias) Veamos un timo clásico que se basa indirectamente en esta propiedad... Supongamos que disponemos de una ruleta de 26 letras distintas: mientras que la probabilidad de que salgan las palabras TACO o BOBO es baja (acontecimiento concreto), la probabilidad de que salga alguna palabra no concreta con sentido es alta (acontecimiento genérico). Martin Gardner

98 97 ¿Si durante 6 semanas seguidas recibieras por carta las predicciones correctas sobre si suben o bajan determinadas acciones, estarías dispuesto a pagar 500 euros por la información a la séptima semana? Observación: la probabilidad de que el broker acierte por azar es (1/2) 6 = 0,008. Nuestro astuto asesor de bolsa envía cartas: predicen subida y bajada. A la mitad adecuada les envía a la semana siguiente con subida y con bajada, etc. Al final 500 personas han recibido 6 predicciones correctas dispuestas a pagar 500 euros por la séptima: 500 x 500 = euros de beneficio para el timador.

99 98 Sueños proféticos Supongamos que la probabilidad de un sueño profético sea de 1/ (muy poco frecuente). La probabilidad de que no sea profético es abrumadora: 9.999/ ¿Cuál es la probabilidad de tener un sueño profético al cabo de un año? La población española es de unos 42 millones de habitantes. El 3,6% de esa cantidad tendrá al menos un sueño profético a lo largo de un año: 1,5 millones de personas. ¡Lo extraño es que no hubiera sueños proféticos!

100 99 Otras definiciones de probabilidad: (1) Definición frecuentista de probabilidad Si un experimento aleatorio puede repetirse muchas veces en idénticas condiciones (en teoría) podemos determinar la frecuencia relativa de la ocurrencia de un suceso. Si el número de intentos es m y el número de ocurrencias de A es m(A) entonces la probabilidad de A es el límite: Von Mises (1919)

101 100 La paradoja del ascensor El señor Arribas tiene su oficina en uno de los pisos más altos de un edificio. Llama al ascensor y piensa: ¡Maldición! El primer ascensor que se detiene aquí está subiendo. Siempre pasa lo mismo... La señorita Ayuso trabaja en una de las primeras plantas. Y sube a desayunar al ático. Llama al ascensor y piensa: ¡Es que no lo entiendo! ¡Siempre que llamo al ascensor, el primero en llegar está bajando! Pregunta: ¿Cómo es posible? (Puzzle-Math, G. Gamow y M. Stern)

102 101 Hueco del ascensor Planta alta Planta baja

103 102 La Probabilidad Geométrica tiene sus inicios en la Francia del siglo XVIII con el experimento de la aguja de Buffon, desarrollado por el célebre naturalista George Louis Leclerc ( ), mejor conocido como el conde de Buffon. Aunque se le identifica más por su monumental obra Histoire Naturelle de 44 volúmenes, también estuvo profundamente intereresado por las pasiones humanas y los juegos de azar. A la edad de 26 años presentó a los miembros de la Academia de Ciencias de Paris otra forma de ver la Probabilidad usando Geometría. Otras definiciones de probabilidad: (2) Definición geométrica de probabilidad

104 103 La aguja de Buffon Longitud de la aguja igual a la distancia entre las líneas paralelas Experimento-simulación de la aguja de Buffon

105 104 Genaro y Rigoberta se citan entre las 21 y las 22 horas. Ninguno de ellos tiene la costumbre de ser puntual. Así que, el primero que llega esperará 20 minutos y se irá. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca el encuentro? 60 min 20 min x1x1 x2x2 A

106 105 Dados dos números a y b al azar entre 0 y 1, ¿cuál es la probabilidad de que la terna { a, b, 1 } represente las longitudes de los lados de un triángulo agudo (ángulo menor de 90º)? ¿Y de un triángulo obtuso (ángulo mayor de 90º)? (π/4 - 1/2, 1 - π/4 )

107 106 Otras definiciones de probabilidad Grado de creencia (probabilidad subjetiva): por ejemplo la existencia de vida extraterrestre. La mayoría de los sucesos de la vida son irrepetibles. Grado de conocimiento: En muchos casos sabemos que el valor de probabilidad existe pero nos resulta desconocido. A través de experimentos podemos determinarlo. Pero los experimentos arrastran errores... Un objetivista utiliza como definición de probabilidad la clásica o la frecuentista. Un bayesiano o subjetivista aplica las leyes formales del azar a sus probabilidades subjetivas o personales, o a las nuestras.

108 107 La paradoja de Bertrand Joseph L. F. Bertrand ( ) fue un matemático francés cuyas principales áreas de trabajo fueron la Teoría de Números, la Geometría Diferencial y la Teoría de las Probabilidades. En 1888 publicó el libro Calcul des probabilitiés que contenía numerosos ejemplos de problemas de probabilidades en los cuales el resultado depende del método de resolución. El más famoso se conoce como la Paradoja de Bertrand: Joseph Louis François Bertrand ( ) Dada un circunferencia de radio R, se traza en ella, al azar, una cuerda. ¿Cuál es la probabilidad de que esta cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero que puede inscribirse en la circunferencia?

109 108 Solución 1: La posición de la cuerda puede ser determinada por su distancia al centro de la circunferencia. Esta distancia puede variar entre 0 y R. La cuerda será mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito cuando su distancia al centro sea menor que R/2. De aquí obtenemos que la probabilidad buscada es 1/2. 0 R

110 109 Solución 2: Tomemos un punto cualquiera de la circunferencia. Tracemos la tangente a la circunferencia en ese punto. Toda cuerda que pase por ese punto formará un ángulo con la tangente que varía entre 0 o y 180 o. Para que la cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero debe estar comprendida entre 60 o y 120 o. De ahí que la solución buscada sea 1/3.

111 110 Solución 3: Una cuerda está totalmente determinada por su punto medio. Aquellas cuerdas cuya longitud exceda el lado del triángulo equilátero tienen sus puntos medios dentro de un pequeño círculo de radio 1/2 R. De modo que su área es 1/4 de la del círculo de radio R. De aquí obtenemos que la probabilidad buscada es 1/4.

112 111 Origen del nombre de la compañía: procede del término matemático googol, que en 1998 los fundadores de Google, dos jóvenes matemáticos de la Universidad de Stanford, Sergey Brin y Larry Page, consideraron ilustrativo del complejo proceso de búsqueda que efectúa su buscador. El término en cuestión lo inventó en 1938 un niño de nueve años cuando, hablando sobre el infinito con su tío, el matemático Edward Krasner, su desbordante imaginación infantil improvisó ese nombre para referirse a un 1 seguido de 100 ceros: Google

113 112 Dos décadas después, dos ingenieros americanos, John Fox y Gerald Marnie, popularizaron el término al bautizar como juego del googol un problema clásico relativo a los procesos de búsqueda: cómo determinar el momento ideal para dar una búsqueda por concluida (optimal stopping). También conocido como el problema del sultán y la dote, del concurso de belleza o de la elección de secretaria. El juego del googol

114 113 Sobre el jugador pesan, pues, dos preocupaciones opuestas: si se planta demasiado pronto, puede estar renunciando a números mayores que todavía no han salido; pero si retrasa demasiado su elección, puede pasar por alto, sin darse cuenta, las mejores oportunidades y quedarse a la espera de un número ideal que nunca llegará. ¿Cómo conjugar esos dos riesgos opuestos? El juego del googol puede enunciarse así: varias personas (digamos, 100) escriben cada una, en secreto, un número en una papeleta, sin límite en cuanto al valor del número escogido; las papeletas se revuelven y se inicia su extracción al azar y lectura pública, una a una. La gracia está en seleccionar la papeleta con el número más alto. El jugador se puede plantar en cualquier momento, pero no puede volver atrás: si deja pasar el número ganador, a la espera de otro aún mayor, perderá.

115 114 Puede demostrarse que para hacer máxima la probabilidad de acierto deberemos seguir la regla del 37%, es decir, recordar el número más alto de entre los 37 primeros (si están jugando 100 personas y por tanto hay 100 números) y, a partir de ese momento, plantarnos en el primero que lo supere. Siguiendo esa regla, la probabilidad de acierto será también del 37%, porcentaje que es el inverso del número e.

116 115 Redes booleanas aleatorias inspiradas en las redes genéticas. Gen activo: produce proteína. Gen inhibido: no produce proteína. La presencia o ausencia de ciertas proteínas regulan la activación o inhibición de ciertos genes. Red genética: conjuntos de genes auto-regulados.

117 116 Modelo fago Lambda: ¿Qué podemos hacer cuando tenemos miles de genes acoplados? Stuart Kauffman 70s Redes booleanas aleatorias Random Boolean Networks (RBN)

118 117 K genes input PARÁMETROS: N = nº autómatas ~ genes K = conectividad Autónomo Síncrono Quenched Donde f es una función booleana de K argumentos booleanos. gen (autómata) 2 posibles valores: 0 = inactivo 1 = activo Ej. de RBN con K=3 y N=10 Definición de RBN

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120 119 Ejemplo con N=13 y K=3

121 120 Cuenca anterior Las 2 13 = 8192 configuraciones globales en 15 cuencas de atracción disjuntas del ejemplo de RBN anterior.

122 121 Transición orden-desorden Orden (K=1) Desorden (K=3) K c =2

123 122 Enfoque ingeniero versus enfoque matemático N T ~ N g

124 123 Enfoque ingeniero versus enfoque matemático Propiedades generales: emergencia y evolución.

125 124 Supongamos que la función rnd( ) de un lenguaje nos devuelve un número real al azar del intervalo [0, 1]. Y queremos generar una lista de 1000 dígitos formados con un porcentaje de p unos y (1 - p) ceros. ¿Cómo hacerlo? do i = 1, 1000 x = rnd( ) if (x.lt. p) then digito(i) = 1 else digito(i) = 0 end if end do 01 p longitud plongitud (1-p)

126 125 Generalización de las RBN Ricard V. Solé and Bartolo Luque. Phase transitions and antichaos in generalized Kauffman networks. Physics Letters A 196 (1995) pp Núcleo estable Método de la distancia (teoría de perturbaciones) Maxent (métodos variacionales)

127 126 Problemas resueltos

128 127 1/ Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se sacan 3 bolas al azar sin reemplazo determinar la probabilidad de que: a) Las 3 sean rojas Eventos: E1 sacar roja a la primera E2 sacar roja a la primera E3 sacar roja a la primera P(E1E2E3)= Otro método: Casos posibles: Casos favorables: b) Las 3 sean blancas Casos posibles: Casos favorables: P= c) 2 sean rojas y una blanca

129 128 d) Al menos una sea blanca P=1-P (ninguna sea blanca)= e) Se saque una de cada color f) Se saquen en orden rojo, blanco, azul Con el resultado del apartado anterior (e) y teniendo en cuenta que ahora el orden de extracción importa, solo nos vale uno de los 3! posibles ordenes en los que se pueden extraer 3 bolas de diferente color:

130 129 3/ En un juego de poker se sacan 5 cartas de un naipe de 52 cartas bien barajadas. Encontrar la probabilidad de tener a) poker de ases b) poker de ases y un rey c) full de dieces-jotas d) escalera de nueve, diez, jota, reina, rey e) 3 cartas de un palo y 2 de otro f) sacar un as a) b) c) d) e) f)

131 130 4/ Una biblioteca tiene 6 libros de matemáticas y 4 de física. Encontrar la probabilidad de que 3 libros de matemáticas en particular estén juntos Posibles ordenaciones de los libros= 10! Posibles ordenaciones contando los 3 libros determinados como uno: 8! Posibles ordenaciones de los 3 libros: 3!

132 131 5/ Ay B juegan 12 partidas de ajedrez de las cuales A gana 6, B gana 4, y 2 terminan en empate. Ellos acuerdan un torneo de 3 partidas. Encontrar la probabilidad de que a) A gane los 3 juegos, b) 2 juegos finalicen en empate, c) A y B ganan alternadamente, d) B gana al menos un juego a) b) Posibles ordenes en que se producen los empates= Puesto que se requieren sólo 2 empates la 3 partida no puede ser empate: c) d)

133 132 6/ A y B juegan una partida en la que alternadamente lanzan dos dados, Gana el primero que obtenga un total de 7. ¿Es justo el juego? No es justooooo!!

134 133 7/ a) Determinar la probabilidad de que al lanzar n veces dos dados se obtenga al menos un seis doble b)¿Cuántos lanzamientos habría que realizar para tener una probabilidad de ½ de obtener al menos un 6 doble? a) b) n=24,6 que se aproxima por n=25

135 134 9/ Se considera un dado cargado. Las probabilidades de cada cara en un lanzamiento son inversamente proporcionales al número que aparece determinar: a) la probabilidad de que en un lanzamiento salga impar b) la probabilidad de que salga inferior a cuatro a) b)

136 135 10/ Al controlar la calidad de un producto envasado, se eligen al azar tres envases de una caja que contiene Por termino medio, sabemos que en cada caja hay diez cuya calidad es deficiente. Hallar la probabilidad de que entre los tres no haya ninguno, uno, dos o tres deficientes (B)=bueno (d)=defectuoso

137 136 11/ Se seleccionan dos cartas al azar de entre 10 cartas numeradas del 1 al 10. Hallar la probabilidad de que la suma sea impar si: a) se sacan dos cartas sin sustitución b) se sacan dos cartas, una después de la otra, con sustitución a)Casos posibles: La suma es impar si un numero es par y el otro es impar, como hay 5 pares y 5 impares: Casos favorables= 5x5 b)Casos posibles: Casos favorables= Hay que tener en cuenta que vale tanto sacar par+impar como impar+par

138 137 12/ Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Halla la probabilidad de que: a) si se escogen 2 personas al azar (i) sean esposos (ii) uno sea hombre y otro mujer b) si se escogen 4 personas al azar (i) se escojan dos parejas de casados (ii) ninguna pareja sean casados en tre los 4 (iii) haya exactamente una pareja de casados c) si las 12 personas se reparten en seis parejas (i) cada pareja sean casados (ii) cada pareja la forme un hombre y una mujer a)Casos posibles: maneras de escoger 2 personas de las 12 (i)Hay 6 parejas de casados: (ii)Hay 6 maneras de escoger a un hombre y 6 de escoger a una mujer:

139 138 b)Casos posibles: maneras de escoger 4 personas de las 12 (i)Hay maneras de coger 2 parejas de las 6 (ii)Las 4 personas vienen de 4 parejas diferentes, hay maneras de coger 4 parejas de las 6 y ahí 2 maneras de escoger a la persona de cada pareja (iii) Este evento es complementario de los otros dos, por tanto: c)Casos posibles: maneras de repartir 12 personas en 6 células ordenadas con 2 personas cada una (i) Las 6 pareja pueden ser colocadas en 6 células ordenadas de 6! maneras: (ii) Cada uno de los 6 hombres se pueden colocar en 6 células de 6! maneras y cada una de las 6 mujeres lo mismo:

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146 145 –Una persona acepta una apuesta del orden 10 a 3 sobre la posibilidad de ganar un púgil en un combate de boxeo. Determínese cuál es la probabilidad que está asignando a este hecho. SOLUCIÓN: Este tipo de relaciones se denomina ventaja relativa. Si la relación es de A a B, entonces la ventaja es: Ventaja = A/B y la probabilidad asociada: P (s)= A/A+B La probabilidad que el apostante está asignado a su posibilidad de ganar al aceptar la apuesta es: P (ganar) = 10/ (10+3) = 10/13

147 146 ´Determínese la probabilidad de que al lanzar n veces dos dados se obtenga al menos un seis doble. ¿Cuántos lanzamientos habría que realizar para tener una probabilidad igual a ½ de obtener al menos un seis doble? (Problema del Caballero de Méré) SOLUCIÓN: 36 comportamiento, de los cuales 1 es la obtención del seis doble. Usemos la probabilidad del suceso complementario. P (obtención de ningún 6 doble en n lanzamientos) = 1 – P (obtención de ningún 6 doble en n lanzamientos) P (ningún 6 doble en n lanzamientos) = 35/36 x 35/36 x 35/36 = (35/36) n P( al menos un 6 doble) = 1 – ( 35/36) n. Para tener probabilidad = 1/2: 1/2 = 1- ( 35/36) n 1/2 = (35/36) n Ln 1/2 = n x ln (35/36) N = 24,6 Por lo que tendremos que lanzar 25 veces.

148 147 Tres personas A, B y C lanzan, sucesivamente, y por este orden, una moneda ideal, ganando el primero que saque cara. ¿ Cuáles son las probabilidades de ganar cada jugador? SOLUCIÓN: Sucesos: A = Gana el A B = Gana el B C = Gana el C P (A) + P (B) + P (C) = 1 Ac: A obtiene cara; ( Bc; Cc) A+: A obtiene cruz; (B+;C+) A gana si en la primera serie de lanzamientos obtiene cara; o si en la primera serie A,B y C obtienen cruz y luego A obtiene cara, y así sucesivamente. Lo mismo ocurre para los sucesos B y C. Por consiguiente:

149 148 P(A) = ½+ (1/2) 4 +(1/2) 7 +(1/2 )10 +……. P(B)=(1/2) 2 +(1/2) 5 +(1/2) 8 +(1/2) 11 +…… P(C)=(1/2) 3 +(1/2) 6 +(1/2) 9 +(1/2) 12 +……. Pudiéndose apreciar que P (B) = 1/2 P (A) y P (C) = 1/2 P (B) = 1/4 P (A) Como: 1 = P (A)+P (B) +P (C) = P (A) + 1/2 P (A) + 1/4 P (A) = 7/4 P (A). Tenemos que: P (A) = 4/7 P (B) = 1/2 P (A) = 2/7 P (C) = 1/4 P (A) = 1/7


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