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F UNCIONES Melany Cerda. F UNCIÓN Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto.

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1 F UNCIONES Melany Cerda

2 F UNCIÓN Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: A B x f ( x ) = y Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f ( x ) = y

3 F UNCIÓN Conceptos: Dominio : es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f. Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f. Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

4 F UNCIÓN Función Continua: Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

5 F UNCIÓN Función Discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

6 F UNCIÓN Función Periódica: Es aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

7 F UNCIÓN Conceptos Fundamentales: Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B. f(x) AB f a x b = f(a) f(x)

8 Conceptos Fundamentales: La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee f de x ]. Decir que y es función de x equivale a decir que y depende de x. AB f a x b = f(a) f(x) F UNCIÓN

9 o Conceptos Fundamentales Se dirá: f : A B b B es la imagen de a A bajo la función f y se denota por b= f(a) Dom f =A Si ( x, y ) f ^ ( x, z ) f y = z (Unívoca) Toda función es relación, pero no toda relación es función. F UNCIÓN

10 Rango o Recorrido de f: Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B. abcdeabcde AB f F UNCIÓN

11 Luego para la función f denotada: Dominio de f = Dom f = A = { a, b, c, d, e } Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7} abcdeabcde AB f Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f.

12 C LASIFICACIÓN a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A # B. Como se ve, 4 B y no es imagen de ningún elemento de A abcdabcd AB f

13 b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido. abcdabcd 1212 AB f

14 c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que # A = # B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A. abcabc AB f

15 F UNCIÓN La Respuesta correcta es B

16 F UNCIÓN La Respuesta correcta es D

17 F UNCIÓN La Respuesta correcta es E

18 I. F UNCIÓN L INEAL Es de la forma f ( x ) = mx + n con m : Pendiente n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición). Ejemplo: La función f ( x ) = 5 x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

19 I. F UNCIÓN L INEAL Análisis de la Pendiente Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente. Si m < 0, entonces la función es decreciente. Si m = 0, entonces la función es constante. Si m > 0, entonces la función es creciente.

20 I. F UNCIÓN L INEAL I) II) X Y n m > 0 n > 0 X Y n m < 0 n > 0 X Y n m > 0 n < 0 X Y n m < 0 n < 0 III)IV)

21 I. F UNCIÓN L INEAL Tipos de funciones especiales: a ) La función de forma f ( x ) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es: 1 2 f(x)f(x) x 1 2

22 I. F UNCIÓN L INEAL Tipos de funciones especiales: b ) La función de la forma f ( x ) = c, con c : Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es: f(x)f(x) x c con c > 0 f(x)f(x) x c con c < 0

23 I. F UNCIÓN LINEAL Propiedades: El dominio de la función lineal son todos los números IR. Las rectas que tienen la misma m serán paralelas. Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

24 I. F UNCIÓN L INEAL Evaluación de una función lineal: Dada la función f ( x ) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función. Ejemplo La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es: f ( x ) = 0.8 x con x : cantidad de metros recorridos f ( x ): costo en pesos 3 km = 3000 m Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es: f(3000) = 0.8 · = 2650 Por 3 kilómetros se pagan $2650.

25 I. F UNCIÓN L INEAL Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $2.250, se debe resolver la siguiente ecuación: 2250 = 0.8 x / = 0.8 x / : = x Una persona que paga $2250. recorrió 2500 metros o 2.5 kilómetros.

26 I. F UNCIÓN L INEAL Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella: Para construir una función lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir: ( x, f ( x )) y ( x, f ( x )) O bien si a f ( x ) le llamamos y, entonces los pares quedan: ( x, y ) y ( x, y ) Donde la función buscada será: x2 - x1 21 y – y 1= y2 - y 1 ( x – x 1 )

27 I. F UNCIÓN L INEAL Ejemplo Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como función lineal de los ºC? Solución: Se tiene la siguiente información: y Cº : variable independiente ( x ) ºF : variable dependiente ( y ) (0, 32)(100, 212) x y

28 I. F UNCIÓN L INEAL Reemplazando en: Se tiene: Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es x - x 21 y – y = y - y ( x – x ) y – 32 = 212 – 32 ( x – 0) 100 – 0 y – 32 = 180. x 100 y = 1.8· x + 32 f(x) = 1.8· x + 32

29 I. F UNCIÓN L INEAL Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan en una misma cantidad constante llamada diferencia. Este crecimiento aritmético gráficamente está representado por una recta con pendiente positiva. Si la pendiente es negativa se habla de un decrecimiento aritmético. Ejemplo : f ( x ) = 2 x + 1 f (0) = 2· = 1 f (1) = 2· = 3 f (2) = 2· = 5 f (3) = 2· = 7 +2

30 I. F UNCIÓN L INEAL Gráficamente

31 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Son de la forma: Gráfica: Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c. f ( x ) = ax² + bx + c

32 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Concavidad: El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo. x y 0 x 0 y a > 0, Abierta hacia arriba a < 0, Abierta hacia abajo

33 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Eje de simetría y vértice: El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola. El vértice está dado por: Vértice = -b, f -b = -b, 4ac – b² 2a 4a

34 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Además, la recta x =, corresponde al Eje de simetría. -b-b 2a2a _ b² - 4ac 4a x y · -b-b 2a2a x 0 y · _ b² - 4ac 4a -b-b 2a2a a > 0 a < 0

35 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Intersección con los ejes Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y. Sus coordenadas son (0, c ) 0 c · y x

36 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Intersección con el eje X para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática. Se define el discriminante como: D = b² - 4 ac

37 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA a ) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X. 0 · Y X a > 0 ( x = x, 0) 12

38 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA b ) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X 0 · Y X a > 0 · ( x,0) y ( x, 0) 12

39 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA c ) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X. 0 Y X a > 0

40 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general. Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión: x = - b ± b ²- 4 ac 2 a x = - b ± b ²- 4 ac 2 a 1 x = - b ± b ²- 4 ac 2 a 2 Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f ( x ) = ax ² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas ( x,0) y ( x, 0) 12

41 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Tipos de soluciones Dependen del valor del Discriminante a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales b) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas ( x y x C, con x x ) c) Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas ( x y x C, con x x ) D = b² - 4 ac (x = y)

42 II. F UNCIÓN C UADRÁTICA Ejemplo: Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación? Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por En este caso a = 1 b = 2 c = -15 Luego, x = 3 x = -5 x = - b ± b ²- 4 ac 2 a x = - 2 ± 2 ²- 4 · 1·(-15) 2 · 1 x = - 2 ± x = - 2 ± 64 2 x = - 2 ±8 2 x = x =

43 III. F UNCIÓN P ARTE E NTERA Su valor, para cada número x IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta se escribe: Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir: Ejemplos: [2,9] = 2;[-7/2] = -4;[5] = 5;[2] = 1 f ( x ) = [ x ] [ x ] x < [ x +1] Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

44 III. F UNCIÓN P ARTE E NTERA Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [ n, n + 1[ con n Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

45 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO El valor absoluto de un número x IR, denotado por | x |, es siempre un número real no negativo que se define: Ejemplo: |-3| = 3|12| = 12|-18| = 18|-5,3| = 5,3 f ( x ) = | x | = x si x 0 - x si x < 0 Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número | x | se llama distancia de x al origen.

46 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.

47 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.

48 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO Propiedades: a. Si | x | a entonces - a x a ; con a 0 b. Si | x | a entonces x a ó - x a c. |xy| = |x| · |y | d. |x + y| |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

49 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

50 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO Ejercicios: Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación: a. |x – 3| 2 Aplicando la primera propiedad: -2 x – x x 5 x [1, 5]

51 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO La Respuesta correcta es B

52 IV. F UNCIÓN V ALOR A BSOLUTO La Respuesta correcta es D

53 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Es la función inversa del logaritmo natural y se denota equivalentemente como: x e^x o x exp(x) La función exponencial f con base a se define como f ( x ) = a Si a > 0 ^ a 1, x IR x

54 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Propiedades: El dominio de la función exponencial está dado por los números IR. El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*. El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1). La función no intercepta el eje X.

55 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial: Si a > 1, f ( x ) es creciente en todo IR. Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.

56 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Crecimiento y decrecimiento exponencial: Si 0 < a < 1, f ( x ) es decreciente en IR

57 V. F UNCIÓN E XPONENCIAL Ejercicio: Determinar la función que representa en número de bacterias que hay en una población después de x horas si se sabe que inicialmente había bacterias y que la población se triplica cada una hora. Solución : Cantidad inicial = Después de una hora = · 3 = Después de dos horas = · 3 · 3 = … Después de x horas = · 3 Por lo tanto, siendo x el número de horas que pasan desde el inicio del estudio, la cantidad de bacterias se representa por la función: f(x) = · 3 x x

58 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por log. Está dada por la siguiente ecuación: a y = log x si x = a y a

59 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Propiedades El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x 0. El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0). La función no intercepta el eje Y.

60 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Crecimiento y decrecimiento Logarítmico: Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0. a

61 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Crecimiento y decrecimiento Logarítmico: Si 0 0. a

62 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA Ejercicios: Dado los valores: log 2 = y log 3 = Entonces, en la función f ( x ) = log x, determine f (6). Solución : f (6) = log (6) Donde log 6 = log (2 · 3) Por Propiedad log (2 · 3) = log 2 + log 3 = = Por lo tanto: Si f ( x ) = log x, entonces f (6) =

63 V. F UNCIÓN L OGARÍTMICA La Respuesta correcta es D


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