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Funciones Profesor: Alejandro Ruz Sector de aprendizaje: Matemáticas. Integrantes: - Maria Isabel Reyes - Claudia Alarcón - Gina Valencia Liceo polivalente.

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Presentación del tema: "Funciones Profesor: Alejandro Ruz Sector de aprendizaje: Matemáticas. Integrantes: - Maria Isabel Reyes - Claudia Alarcón - Gina Valencia Liceo polivalente."— Transcripción de la presentación:

1 Funciones Profesor: Alejandro Ruz Sector de aprendizaje: Matemáticas. Integrantes: - Maria Isabel Reyes - Claudia Alarcón - Gina Valencia Liceo polivalente A123 Hermanos Sotomayor de Melipilla

2 Hola, ¿cómo están? ¡¿Listos para comenzar este módulo de auto- aprendizaje?! No te preocupes, las funciones son fáciles, solo concéntrate y veras.

3 Para realizar este modulo de auto-aprendizaje necesitas: Un cuaderno Un lápiz Mucho entusiasmo

4 Antes de entrar en materia, podrías decirme que conoces sobre las funciones... Para eso escribe tu conocimientos en el espacio en blanco

5 Esto es lo que aprenderás Concepto función Evaluación de funciones Dominio de una función Recorrido de una función Funciones especiales Gráfica de funciones Funciones definidas por intervalos Composición de funciones Clasificación de funciones Despedida

6 Concepto de función La palabra función es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.

7 ¿Qué es una función? Una función de un conjunto A en un conjunto B, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B A B Observación: Este diagrama es una función sí todos los elementos del primer conjunto sale una sola flecha. PreimágenesImágenes f

8 A B Observación: Este diagrama no es una función, ya que la preimagen 4 tiene dos imágenes, o sea, salen de ella más de una flecha y además 3 no tiene imagen. PreimágenesImágenes f

9 Función en un gráfico cartesiano Él gráfico cartesiano indica que ésta relación es una función y esto se comprueba al trazar cualquier paralela al eje y. Ésta corta en un solo punto de la función. (Imágenes) Y X ( Preimágenes ) Punto donde se interceptan la paralela y la función.

10 Función en un gráfico cartesiano Él gráfico cartesiano indica que ésta relación no es una función y esto se comprueba al trazar cualquier paralela al eje y. Ésta corta en más de un solo punto. (Imágenes) Y X ( Preimágenes ) Puntos donde se interceptan la paralela y la función.

11 Función expresada como un conjunto Cuando tengas una función expresada como un conjunto, debes tomar en cuenta que cada preimagen tenga una única imagen y al cumplir con esto es una función, como en el caso que ahí tienes.

12 Función expresada como un conjunto El siguiente conjunto no es una función, ya que la preimagen 1tiene más de una imagen, las cuales son 1 y 3

13 Las funciones son tan comunes que las podemos encontrar en una autopista, por ejemplo, en las europeas es posible ver un recuadro como este: Mantenga su distancia para frenar. D(en Mts.) V(en Km./H) ¿ Sabes por que es una función? HAZ CLIK AQUÍ Y TENDRAS LA REPUESTA.HAZ CLIK AQUÍ Y TENDRAS LA REPUESTA.

14 Bueno, esta es una función, ya que la distancia que debe mantener el automóvil(D), esta determinada por la velocidad(V), que lleva éste. Por lo tanto la distancia(D), depende de la velocidad(V).

15 ¡Ahora, a ejercitar! Demuéstrame lo que haz aprendido. ¡Tu puedes!

16 Determina si el siguientes diagrama es o no funciones ¿Es una función? SI NO AB f

17 TU RESPUESTA ES INCORRECTA Vuelve a intentarlo. Ahora si podrás.

18 ¡BIEEEN!, TU RESPUESTA ES CORRECTA. Es una función, ya que cada elemento del conjunto A o preimagen tiene un elemento en B o imagen, además del conjunto A sale una sola flecha por cada preimagen.

19 Determina si el siguientes diagrama es o no funciones ¿Es una función? SI NO A B f

20 ¡BIEEEN!, TU RESPUESTA ES CORRECTA. No es función, ya que la preimagen 1 no tiene una imagen.

21 TU RESPUESTA ES INCORRECTA Vuelve a intentarlo. Ahora si podrás.

22 Determina si el siguientes diagrama es o no funciones ¿Es una función? SI NO A B f

23 TU RESPUESTA ES INCORRECTA Vuelve a intentarlo. Ahora si podrás.

24 ¡BIEEEN!, TU RESPUESTA ES CORRECTA. No es un función, ya que la preimagen 2 tiene dos imágenes.

25 Establece si los siguientes conjuntos corresponden a una función: SI NO SI NO

26 TU RESPUESTA ES INCORRECTA Vuelve a intentarlo. Ahora si podrás.

27 ¡BIEEEN!, TU RESPUESTA ES CORRECTA. Si corresponde a una función, ya que cada preimagen (eje x) tiene una sola imagen (eje y), además en una función una imagen puede tener más de una preimagen

28 TU RESPUESTA ES INCORRECTA Vuelve a intentarlo. Ahora si podrás.

29 ¡BIEEEN!, TU RESPUESTA ES CORRECTA. No corresponde a una función, ya que la preimagen tiene dos imágenes, y, pero si en una función una imagen puede tener más de una preimagen

30 Evaluación de funciones Evaluar funciones consiste en identificar la imagen de una preimagen, por lo tanto es necesario que tengas claro que: f: A A, g:A A A A g A Entonces: f(1) = 2 f(2) = 3 g(1) = 5 g(3) = 6 f

31 Ahora, si los diagramas los expresamos en función f(x) = x + 4, entonces: f( 2) = (2) + 4 = 6, por lo tanto 6 es la imagen de 2, bajo función f. Ejemplos de evaluación de funciones F(x) = 5x - 3 ; encuentra: f(x) = = 5x - 3 /+3 25 = 5x / :5 5 = x, por lo tanto, 5 es la preimagen de 22, bajo función f.

32 Demuestrame lo que haz aprendido con el entrenamiento que te he brindado Evalúa las siguientes funciones. ¡Eleva tu ki y lo lograrás!

33 Ejercicios: 1. Sea f: IR IR definida por f(x) = 3x +7, hallar: a)_ f(4) = b)_ f(-2)= c)_ f(0)=

34 2.Dado determina: a)_ f(3) = b)_ f(-1)= c)_ f(0.5)= Respuestas:

35 1.a) 19 b) 1 c) 7 2.a) 6 b) -2 c)-2.75 Aquí tienes las respuestas, espero que mi entrenamiento halla sido provechoso

36 Funciones Especiales Función Lineal Función Cuadrática Función Constante Función Valor Absoluto Función Parte Entera Función Exponencial Función Fraccionaria Función Logarítmica

37 Función Lineal: Se llama así a la función f=IR IR, definida por f(x) = ax + b; donde a y b є IR, a 0. Ejemplo: f(x) = 2x + 1. Su forma gráfica es:

38 Función Cuadrática: Se llama así a la función f=IR IR, definida por f(x) = ax 2 + bx + c; donde a, b y c IR, a 0. Ejemplo: 3x 2 +x-5. Su forma gráfica es:

39 Función Constante: esta definida por f: A B, tal que f(x) = c, para todo x A, c B, con c constante. Ejemplo: f: IR IR tal que f(x) = 2. Su forma gráfica es:

40 Función Valor Absoluto: esta definida por:, donde se le puede designar cualquier número a x, que es transformado siempre a números positivos por el valor absoluto. Ejemplo:. Su forma gráfica es:

41 Función Parte Entera: esta función está definida por f: IR IR, tal que, donde = al entero inmediatamente menor o igual a x. Ejemplo: f(x) = x+1. Su forma gráfica es:

42 Función Exponencial: esta función está definida por f: IR IR, tal que f(x) = a x,. También se expresa como exp a (x) = a x. Ejemplo: f(x) = 2 x.Su forma gráfica es:

43 Función Logarítmica: Si a > 0, a 0, se define f: IR + IR, tal que : log a (x) = y. Ejemplo: log 2 (x) = y. Su forma gráfica es:

44 Función Fraccionaria: Corresponde a la función que tiene la incógnita en el denominador, donde este no debe quedar en 0. Ejemplo:. Su forma gráfica es:

45 Ahora que haz aprendido los tipos de funciones... !A practicar¡

46 Identifica a que tipo de función corresponden las siguientes funciones: 1). f(x) = [x] +1 2). f(x) = 2x ). f(x) = 7x -3 4). f(x)= |x-1| 5). f(x) = 10

47 6). f(x) = 5 x+1 7). f(x) = [x] +1 8). 9). f(x)= |x-1|-1 10). Log 3 (x) = y

48 11) 12):

49 13). 14): Respuestas

50 1). Función Parte Entera. 2). Función Cuadrática. 3). Función Lineal. 4). Función Valor Absoluto. 5). Función Constante. 6). Función Exponencial. 7). Función Parte Entera. 8). Función Fraccionaria 9). Función Valor Absoluto. 10). Función logarítmica. 11). Función Cuadrática. 12). Función Valor Absoluto. 13). Función logarítmica. 14). Función Fraccionaria

51 Gráfica de funciones Las funciones, en especial las reales tienen la particularidad, estas pueden representarse en el plano cartesiano, es decir, podemos ver como se expresa en forma gráfica una expresión algebraica. Esto

52 ¿Cómo se gráfica una función? Para graficar cualquier función se deben seguir los pasos, por ejemplo para la f(x) = 3x+1: 1º Paso: Primero debemos construir una tabla:donde se le da un valor a x, para luego realizar las operaciones necesarias para saber el valor y Los valores de x tu los designas. Estos pueden ser cualquier número real.

53 2º paso: En el plano cartesiano se ubican los pares ordenados obtenidos anteriormente y luego los unes. Ejemplo: Estos pasos se utilizan para gráficar cualquier función

54 Gráfica de diferentes funciones Función Lineal Función Cuadrática Función Constante Función Valor Absoluto Función Parte Entera Función Exponencial Función Fraccionaria Función Logarítmica Ejercicios

55 Función Lineal Al graficar una función lineal siempre se forma una recta. Aquí solo se necesita encontrar 3 coordenadas cartesianas. Ejemplo: f(x) = 3x+1

56 Función Cuadrática Su forma gráfica siempre es una parábola. En esta gráfica se necesitan encontrar como mínimo 5 coordenadas cartesianas. Ejemplo: f(x)= x 2

57 Función Constante La gráfica de esta función se caracteriza por cortar en un solo punto el eje y. Ejemplo: f(x) = 2

58 Función Valor Absoluto La caracteriza de esta función al gráficarla es que forma una letra v. Ejemplo:

59 Función Parte Entera La gráfica de esta función se caracteriza por ser en forma de escalera. Debes designar valores decimales a x. Ejemplo:

60 Función Exponencial Esta función se caracteriza por no tocar nunca el eje x y crecer en forma exponencial. Ejemplo:

61 Función Fraccionaria Esta función se caracteriza por uno de sus preimágenes no tiene una imagen, por lo tanto la gráfica no toca nunca este lugar, pero tampoco el eje x. Ejemplo:

62 Función Logarítmica Esta función se caracteriza por no tocar nunca el eje y, ya que solo existen logaritmos positivos, sin incluir el cero. Además crecer en forma logarítmica, solo en el eje x positivo. Ejemplo:

63 Ejercicios Realiza la gráfica de las siguientes funciones: (realiza las gráficas en tu cuaderno) 1).f(x) = -1 2). g(x) = x 4 3). h(x) = 4). i(x) = x ). f(x) = 6). f(x) = x 3 7). g(x) = 4x 2 -4x+3 8). f(x) = 9). h(x) = 2 x 10). f(x) = x Respuestas

64 1).

65 2).

66 3).

67 4).

68 5).

69 6).

70 7).

71 8).

72 9).

73 10).

74 Dominio de una función Es el conjunto cuyos elementos hacen que esté bien definida, es decir, es el conjunto formado por todas las preimágenes. Ejemplo: A Bf El dominio de este diagrama son todos las preimágenes del conjunto A, que tienen una imagen en B, entonces el dominio de f es: Dom.f =(1,2,3,4).

75 Dominio en diferentes funciones Función Lineal Función Cuadrática Función Constante Función Valor Absoluto Función Parte Entera Función Exponencial Función Fraccionaria Función Logarítmica Ejercicios

76 Función Lineal: el dominio corresponde a todos los números reales (IR). Ejemplos: 1). f(x) = x +2. Aquí Dom.f = IR, ya que y se puede calcular la imagen x. 2). g(x) = 2x+5. Aquí Dom.f = IR, ya que y se puede calcular la imagen de x.

77 Función Cuadrática: Su dominio corresponde a todo los reales. Ejemplos: 1 ). f(x) = x 2 -1 Aquí el Dom. f= IR, ya que, es decir, que a cualquier valor de x se puede elevar al cuadrado y restarle uno. 2). h(x) = 2x Donde el Dom. h= IR, ya que.

78 Función Constante: Su dominio corresponde a todos los números reales, ya que las funciones constantes están definidas f: A B, tal que f(x) = c, por lo tanto se le puede dar cualquier valor IR a x. Ejemplos: 1).f(x) = 2. Aquí el Dom. f= IR, ya que 2).g(x) = 0,5. Dom. g= IR, ya que 3).h(x)= m Dom. g= IR, ya que.

79 Función Valor Absoluto: su dominio corresponde a todos los números reales, ya que cualquier número IR se le puede aplicar el valor absoluto. Ejemplos: 1). f(x) = |x+1| En esta función el Dom. f= IR, ya que. 2). g(x) = |-2x+5| Aquí el Dom. g= IR, ya que

80 Función Parte Entera: en esta función el dominio corresponde a todos los números reales, porque se le designar cualquier valor IR a x. Ejemplos: 1). f(x) = [x-1] En esta función parte entera su Dom. f= IR 2). g(x) = [x]+1 Aquí el Dom. g= IR

81 Función Exponencial: su dominio corresponde a todos los números reales, ya que el valor de exponente, o sea, x puede se cualquier valor IR. Ejemplo: 1). f(x) = 3 x Su Dom. f= IR, ya que 2). g(x)= 9 x-9 Dom. g= IR, porque

82 Función Fraccionaria: en esta función el dominio son todos los números, menos los que dejen el denominador en cero. Ejemplos: 1). Aquí Dom. f= IR-{1}, ya que 2). Aquí Dom. g= IR-{-1}, ya que

83 Función Logarítmica: En esta función su dominio corresponde a todos los reales positivos incluido el 0, ya que no existen los logaritmos negativos. Ejemplos: 1). Log 2 (x) = y Dom.: IR 0 + 2). Log 5 (x) = y Dom.: IR 0 +

84 Ejercicios Encuentra el dominio de las siguientes funciones: 1).f(x) = m 2). f(x) = 4x 3). f(x) = 4). f(x) = x ). f(x) = Respuestas

85 1) Dom.= IR 2).Dom. = IR 3).Dom. = IR - 4) Dom. = IR. 5). Dom. = IR

86 Recorrido de una función Es el conjunto formado por todas las imágenes de una función. Ejemplo: A B f El recorrido de este diagrama son todos las imágenes del conjunto B, que están en función de f, entonces el recorrido de f es: Rec.f =(2,3,4).

87 Recorrido en diferentes funciones Función Lineal Función Cuadrática Función Constante Función Valor Absoluto Función Parte Entera Función Exponencial Función Fraccionaria Función Logarítmica Ejercicios

88 Función Lineal: el recorrido corresponde a todos los números reales (IR) y se debe reemplazar f(x) por y, para luego despejar x. Ejemplos: 1). f(x) = x +2. y= x+2 /-2 Rec. f= IR, y a que y puede y-2 = x tomar cualquier valor real. 2). g(x) = 2x+5. y= 2x+5 /-5 Rec. g= IR, porque y puede y-5 = 2x/ :2 tomar cualquier valor real. y-5 = x 2

89 Función Cuadrática: Su recorrido va desde el vértice hacia el infinito la parábola es positiva y infinito al vértice si es negativa. Ejemplo: 1 ). f(x) = x 2 El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo. Para conocer este valor se debe saber que ax 2 +bx+c = 0, donde el vértice se encuentra reemplazando los valores de a, b y c en la siguiente fórmula: Entonces el Rec.= [0,+ [

90 Función Constante: su recorrido corresponde a el valor constante. Ejemplos: 1). f(x) = 5 El Rec. f= 5, ya que 5 es el valor que se mantiene constante. 2). g(x) = m, m Rec. g= m y es un número real.

91 Función Valor Absoluto: su recorrido corresponde a todos los reales positivos, incluido el 0(IR + 0 ), ya que el valor absoluto es la distancia desde el número al 0. Ejemplos: 1). f(x)= | x+1 | Rec: IR + 0 2). g(x)= |3x-5| Rec: IR + 0

92 Función Parte Entera: su recorrido corresponde a todos los números enteros. Ejemplo: 1). Rec.= IR + Al designarle cualquier valor IR a x, f(x) o ysolo puede tomar valores positivos.

93 Función Exponencial: su recorrido son todos los reales positivos, si la base es positiva y si negativa, su recorrido son todos los reales negativos. Ejemplo: 1). Rec. f= IR +, ya que la base es positiva. 2). Rec. g= IR -, ya que la base es negativa.

94 Función Fraccionaria: para saber el recorrido de esta función se reemplazar f(x)por y, para luego despejar x. Una vez hecho esto el recorrido son todos los reales menos el valor(es), que deje el denominador en 0.Ejemplo:

95 Función Logarítmica: su recorrido son todos los números reales positivos, ya que el resultado de todo logaritmo es un número IR +. Ejemplo: Rec.= IR + ¡Avancemos al siguiente nivel!

96 Ejercicios Encuentra el recorrido de las siguientes funciones: 1).f(x) = m 2). f(x) = 4x 3). f(x) = 4). f(x) = x ). f(x) = Respuestas

97 1) Rec.= m 2). Rec.= IR 3). Rec.= IR - 4) Rec.=. 5). Rec.= IR +

98 Funciones definidas por intervalos Existen funciones definidas por tramos o intervalos que permiten mezclar las funciones básicas. Estas siempre tienen condiciones. Ejemplo: f(x) = Donde: a) f(-5) = -2(-5) 2 = -50 b) f(3) = 3+1= 4 c) d) f(0) = 0+1= 1 Aquí d

99 Gráfica de funciones definidas por intervalos f(x) = 1º se debe dividir la gráfica en el lugar donde se unen las funciones. 2º realizar las tablas de las funciones en forma separada. 3º se ubican los puntos en la gráfica y unirlos. Ejemplo: Para la función x+1 Para la función -2x 2

100 En esta clase de funciones no es necesario que estas se unan.

101 Ejercicios 1). Sea g: IR IR, definida por: g(x) = Encontrar: a). Gráfica la función g. (Realízala en tu cuaderno) b). Encontrar: 1. g(5)= 2. g(0)= 3. g(1/2)= Respuestas

102 a).

103 b). 1). 10 2). 2 3).5/2

104 Composición de funciones Sean las funciones f: A B y g: B C se define: función compuesta (g o f): A C como sigue: (g o f)(x) = g((f(x) abcabc efgefg ABC f g Donde: (g o f)(a)= g(f(a))= g(1)= e (g o f)(b)= g(f(b))= g(1)= e (g o f)(c)= g(f(c))= g(3)= f

105 : Ejemplo: Sean f: IR IR y g: IR IR, tal que f(x) = x+3 y g(x) = x 2. (g o f)(x) = g(f(x))= g(x+3) = (x+3) 2 = x 2 +6x+9 Donde la preimagen x es transformada por f, que da como resultado x+1. Este resultado luego es nuevamente transformado, pero esta vez por g.

106 (f o g)(x)= f(g(x)) = f(x 2 ) = x 2 +3 Aquí la preimagen x es transformada por g, que da como resultado x 2. Este resultado luego es nuevamente transformado, pero esta vez por f.

107 Ejercicios 1). Dadas las funciones: f(x) = 3x - 2 y g(x) = x + 4 entonces: a). (g o f)(4) = b). (f o g)(4) = c). (g o f)(x) = d). (f o g)(x) =

108 2). Sean f(x) = x 2 +3x+1, g(x) = 2x-3, h(x)= x+1. Encontrar: a). (f o g)(x) = b). (f o g)(3) = c). (f o g o h)(2) = d). f(-2) + g(2) - h(1)= Respuestas

109 1). a). 14 b). 22 c).3x + 2 e) 6x ).a). 4x 2 - 6x + 1 b). 19 c). 19 d). -2

110 Hemos avanzado al cuarto nivel. La clasificación de las funciones

111 Clasificación de funciones Función Inyectiva Función Epiyectiva Función Biyectiva Función Inversa ¡ A practicar!

112 Función Inyectiva Una función f: A B se dice inyectiva o uno a uno si y solo si: f(a) = f(b) a = b es decir, a imágenes iguales le corresponden preimágenes iguales, o sea, que una preimagen solo puede tener una sola imagen. Ejemplo: abcabc A B f f es inyectiva, porque cada preimagen tiene una sola imagen

113 Ejemplos: 1). f(x) = 3x + 4 f(a) = f(b) 3a+4 = 3b+4 /-4 3a = 3b /:3 a = b f es inyectiva Para que una función sea inyectiva, se debe demostrar que las si dos imágenes son iguales, las preimágenes también deben serlo. Para ello, la incógnita (x) se reemplaza por una a y esta se iguala a la misma función, pero esta vez la incógnita es sustituida por una b. Después se despejan las nuevas incógnitas y si esta son iguales, como en este caso, la función es inyectiva.

114 2). g(x) = x 2 -1 f(a) = f(b) a 2 -1 = b 2 -1 /+1 a 2 = b 2 / -b 2 a 2 - b 2 = 0 (a + b)(a - b) = 0 a + b= 0 a - b= 0 a = -b a = b g no es inyectiva Aquí se realiza el mismo procedimiento anteriormente explicado, pero en este caso las preimágenes tienen diferentes imágenes, por lo tanto la función g no es inyectiva.

115 Función Epiyectiva Una función f: A B es epiyectiva o sobreyectiva si: tal que f(a) = b, es decir, si Rec. f = B o f(a) = B, o sea, una función es epiyectiva si y solo si su recorrido corresponde a todos los números reales. Ejemplos: A Bf abcabc xyzxyz Como Rec. f = B f es sobreyectiva.

116 A Bg abcabc xyzxyz La función g no es sobreyectiva, porque su Rec. = x, z.

117 La función f: IR IR definida por f(x) = x 2 Esta función no es sobreyectiva, porque su recorrido esta definido como: La función g: IRIR definida por g(x) = x 3 Esta función es sobreyectiva, porque su recorrido esta definido como: Rec. = IR

118 Función Biyectiva Las funciones biyectivas son aquellas que cumplen con ser inyectivas y sobreyectivas simultáneamente. Ejemplo: La función real f(x) = x 3 Además son biyectivas todas las funciones lineales.

119 Función Inversa Sea la función f: AB. Su inversa se designa por f -1 : B A y se define por: Ejemplo: Sean,, se define f como: f(a)= 2, f(b)= 1, f(c)= 2, f(d)= 2, f(e)= 4, f(h)= 4, entonces:

120 Para que f -1 sea función debe suceder que f sea biyectiva. Ejemplo: sea la función real f(x) = 3x - 2 Para encontrar f -1 se hace f(x) = y Esto es : 3x - 2 = y, para luego despejar x: Así la función inversa es : la cual se escribe: ¡Observación!

121 Identifica a que tipo de función corresponden las siguientes funciones: 1). f(x) = [x] +1 2). f(x) = 2x ). f(x) = 7x -3 4). f(x)= |x-1| 5). f(x) = 10

122 6). f(x) = 5 x+1 7). f(x) = [x] +1 8). 9). f(x)= |x-1|-1 10). Log 3 (x) = y

123 11).

124 12).

125 13).

126 14).

127 Respuestas 1). Es una función 2). Es una función 3). Es una función biyectiva e inversa 4). Es una función 5). Es una función 6). Es una función inyectiva 7). Es una función 8). Es una función inyectiva 9). Es una función 10). Es una función inyectiva

128 11). Es una función 12). Es una función Biyectiva e inversa 13). Es una función 14). Es una función Biyectiva e inversa

129 ¡¡¡ Hemos terminado nuestro modulo!!! Espero que haya aumentado tus poderes y conocimientos los que te ayudaran a salir victorioso de las batallas que se te presentaran en el futuro.


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