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Preston University 1 Medidas de Posición Central: Usualmente, nuestra atención se centra en dos aspectos de las medidas de posición central: –Medición.

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1 Preston University 1 Medidas de Posición Central: Usualmente, nuestra atención se centra en dos aspectos de las medidas de posición central: –Medición del punto central (promedio) –Medición de la dispersión en torno al promedio

2 Preston University 2 Medidas de Posición Central: la media Es la medida mas popular. Es decir, tenemos una muestra de n observaciones: x 1, x 2,…,x n. Su media muestral es: De forma compacta: Suma de las observaciones Número de observaciones Media =

3 Preston University 3 Ejemplo: La media de la muestra de seis observaciones: 7, 3, 9, -2, 4, 6 esta dada por: Medidas de Posición Central: la media

4 Preston University 4 16 empleados Medidas de Posición Central: la media Cuando muchas observaciones toman el mismo valor, estas se pueden resumir en una tabla de frecuencias. Supongamos que el número de Hijos en una muestra de 16 empleados fuera el siguiente: NUMERO DE HIJOS NUMERO DE EMPLEADOS Ejemplo:

5 Preston University 5 La mediana La mediana (M) es el valor central de un histograma. Para hallar la mediana de una distribución debemos: Ordenar las observaciones en orden ascendente Si el número de observaciones n es impar, M es la observación central de la lista ordenada. M se halla contando (n+1)/2 observaciones desde el comienzo de la lista Si el número de observaciones n es par, M es la media de las dos observaciones centrales de la lista ordenada.

6 Preston University 6 La mediana Nro. de observaciones es impar 26,26,28,29,30,32,60 Los salarios de siete empleados fueron los siguientes (en 1000s) : 28, 60, 26, 32, 30, 26, 29. ¿Cuál es la mediana? Supongamos que se agrega al grupo el Salario de un empleado más ($31,000). ¿Cuál es la mediana? Nro. de observaciones es par 26,26,28,29, 30,31, 32,60 Hay dos valores en el medio! Primero, ordenar los salarios. Luego, localizar el valor en el medio. 26,26,28,29, 30,31,32, , Ejemplo: Primero, ordenar los salarios. Luego, localizar el valor en el medio.

7 Preston University 7 El modo es el valor que ocurre con mayor frecuencia en un grupo de observaciones. El modo Cuando la muestra es grande, los datos se agrupan en intervalos y obtenemos el Intervalo modal La moda En un conjunto de observaciones puede haber más de un modo.

8 Preston University 8 Ejemplo El gerente de una tienda de ropa posee la siguiente información sobre el talle de los pantalones que se vendieron ayer: 31, 34, 36, 33, 28, 34, 30, 34, 32, 40. El modo es 34 En muchos casos, el modo nos da información mas valiosa que la mediana: La moda

9 Preston University 9 Si una distribución es simétrica, la media, mediana y modo coinciden Si una distribución no es simétrica, las tres medidas difieren. Asimetría hacia la derecha (asimetría positiva) Media Mediana Modo Media Mediana Modo Asimetría hacia la izquierda (asimetría negativa) Media, Mediana y Moda

10 Preston University 10 Medidas de dispersión Caracterizar una distribución solamente a través de una medida central no es apropiado. Las distribuciones del ingreso de dos provincias con el mismo ingreso medio por hogar son muy distintas si una de ellas tiene extremos de pobreza y de riqueza, mientras que la otra tiene poca variación de ingresos entre familias. Estamos interesados en la dispersión o variabilidad de los ingresos, además de estarlo en sus centros.

11 Preston University 11 Ejemplo de dos conjuntos de datos con igual media Datos con alta dispersiónDatos con baja dispersión Medidas de dispersión

12 Preston University 12 Medidas de dispersión Rango Una manera de medir la dispersión es calcular el recorrido de la distribución empírica, es decir, la diferencia entre las observaciones máxima y mínima. Su mayor ventaja es que se puede calcular facilmente, sin embargo, no brinda información sobre la dispersión existente entre ambos valores extremos.

13 Preston University 13 Una medida de dispersión: La varianza La varianza s 2 de un conjunto de observaciones es el promedio de los cuadrados de la desviaciones de las observaciones respecto a su media. Formalmente: De forma compacta:

14 Preston University 14 Propiedades del desviación estándar s mide la dispersión respecto a la media. Debe emplearse solo cuando se escoge la media como medida central de la distribución. s = 0 solo ocurre cuando no hay dispersión: todas las observaciones toman el mismo valor. De lo contrario s > 0. Cuanto más dispersión hay entre las observaciones, mayor es s. s, al igual que la media, se encuentra fuertemente influenciado por las observaciones extremas.

15 Preston University 15 Distribuciones normales Todas las distribuciones normales tienen la misma forma general. La curva de densidad de una distribución normal se describe por su media y su desviación estándar. La media se sitúa en el centro de la curva simétrica, en el mismo lugar que la mediana. Si se cambia sin cambiar se provoca un desplazamiento de la curva de densidad a lo largo del eje de las abscisas sin que cambie su dispersión. La desviación típica controla la dispersión de la curva normal.

16 Preston University 16 Distribuciones normales La curva con mayor desviación estándar es la curva que presenta mayor dispersión. La desviación típica es la medida natural de la dispersión de una distribución normal. La forma de una curva normal no solo queda completamente determinada por y, sino que además es posible situar a simple vista en la curva. Cuando nos alejamos de, en cualquier dirección, la curva pasa de descender rápidamente a descender suavemente. Estos puntos de inflexión están situados a una distancia de.

17 Preston University 17 Regla Empírica En una distribución normal: El 68 % de las observaciones se encuentra entre. El 95 % de las observaciones se encuentra entre 2. El 99.7 % de las observaciones se encuentra entre 3.

18 Preston University 18 Distribución normal estandarizada Si x es una observación de una distribución de media y de desviación estándar, el valor estandarizado de x es: La distribución normal estandarizada es la distribución normal N(0,1): su media es 0 y su desviación estándar es 1. Si una variable x tiene una distribución normal N(, ), entonces z posee una distribución normal estandarizada.


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