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TEOREMA de Schwarz Sea f una función de dos variables x e y. Si f, f x, f y, f xy y f yx son continuas en un conjunto abierto D, entonces, f xy = f yx.

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Presentación del tema: "TEOREMA de Schwarz Sea f una función de dos variables x e y. Si f, f x, f y, f xy y f yx son continuas en un conjunto abierto D, entonces, f xy = f yx."— Transcripción de la presentación:

1 TEOREMA de Schwarz Sea f una función de dos variables x e y. Si f, f x, f y, f xy y f yx son continuas en un conjunto abierto D, entonces, f xy = f yx en D Observación f xy = f yx puede ser falsa si las derivadas mixtas nos son continuas. PROPIEDAD 4 Sea f: D n, una función definida en un conjunto abierto D de n. Si f y todos sus derivadas parciales de segundo orden son continuas, entonces,, i, j = 1,2,...,n

2 Ejemplo Determinar: i) f xxy, si f(x,y,z) = ln(2 x + y+3 z) ii) + + +, si u = e 2 x +y -z

3 DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES Sea f una función de dos variables, x e y. La derivada direccional de f en (x 0,y 0 ) en la dirección del vector unitario u =, denotado por D u f, se define como: Sea f una función de tres variables. La derivada direccional de f en (x 0,y 0, z 0 ) en la dirección del vector unitario u =, denotado porD u f, se define como:, si este límite existe.

4 Interpretación geométrica de la derivada direccional

5 Ejemplo. Si f(x,y)= x 2 + y 3, determinar la razón de cambio de f en el punto P(-1,1) en la dirección de P a Q(3,0). PROPIEDAD Si f es una función diferenciable de x e y, entonces, la derivada direccional en la dirección del vector unitario u=,es: D u f(x,y) = f x (x,y)a + f y (x,y) b

6 GRADIENTE Sea z = f(x,y) una función de dos variables x e y, entonces, el gradiente de f, es la función vectorial f(x,y) definida como: f(x,y) = = i + j, donde: i = ; j = Sea f una función de tres variables x, y, z; entonces, el gradiente de f, es la función vectorial f(x,y,z) definida como: f(x,y,z) = = i + j + k, donde: i = ; j = ; k=

7 El gradiente de f(x,y) es un vector en el plano XY

8 PROPIEDAD Si f es una función (de dos o tres variables) diferenciable, su derivada direccional en la dirección del vector unitario u, es: D u f(x,y) = f(x,y). u D u f(x,y,z) = f(x,y,z). u PROPIEDADES DEL GRADIENTE Sea f una función diferenciable de dos o tres variables. 1. Si f(x)= 0, entonces, 2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dado por 3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dado por - f(x). El valor mínimo de D u f(x) es - f(x). D u f(x) = 0, para todo u El valor máximo de D u f(x) es f(x) f(x).


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