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CLASE 22 PARTE 1: FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Definición. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera.

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1 CLASE 22 PARTE 1: FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Definición. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre Derechos reservados. Ejercicios para las clase 22 Práctico 6 del año Ejercicios 3 y 11. Bibliografía de la Clase 22: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.

2 Sea dada en un abierto D. Sea dado un punto y sea DEFINICIÓN: f es localmente invertible en torno de a si existe un entorno del punto a, tal que es biyectiva (biunívoca: inyectiva y sobreyectiva). Entonces existe función inversa local:

3 EJEMPLO.

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6 CLASE 22 PARTE 2: TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre Derechos reservados. Ejercicios para las clase 22 Práctico 6 del año Ejercicios 3 y 11. Bibliografía de la Clase 22: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.

7 Sea dada en un abierto D. Sea dado un punto y sea TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Si entonces:

8 Dem. Sea la función auxiliar Por el teorema de la función implícita local en el caso de un sistema de q ecuaciones: sigue

9 Teníamos sigue

10 Llamando teníamos g es la inversa local de f. Derivando respecto de p y aplicando la Regla de la Cadena

11 CLASE 22 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA LOCAL. Ejemplo. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre Derechos reservados. Ejercicios para las clase 22 Práctico 6 del año Ejercicios 3 y 11. Bibliografía de la Clase 22: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 3, sección 3.2, parágrafos 37 y 38.

12 EJEMPLO Sea Probar que f tiene inversa local en torno de a y hallar las derivadas parciales de x e y respecto de u y v. Por el teorema de la función inversa local:

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14 OBSERVACIÓN. El recíproco del teorema de la función inversa es falso. Existen funciones localmente invertibles que no son diferenciables, y otras que son diferenciables pero su Jacobiano tiene determinante igual a cero. EJEMPLO. Sea Demostrar que f es localmente invertible pero Jf(a) = 0 f es invertible porque dado (u,v) sea


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