Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.

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1 Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.
CLASE 12 PARTE 1: DIFERENCIABILIDAD Definición Bibliografía de la Clase 12: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 24, 25 y 26. Ejercicios para las clase 12 Práctico 4 del año 2006, ejercicios 6, 7, 9 y 10. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

2 Sea dada un función f en un abierto D, y un punto a en D:
Para cada punto p = x en un entorno de a se llama incremento Delta x al vector p-a = x-a DEFINICIÓN: Se dice que f es diferenciable en el punto a si tal que

3 OBSERVACIÓN: TEOREMA:

4 TEOREMA.

5 Dem.

6 OBSERVACIONES: Por el teorema anterior: 2. pues

7 OBSERVACIONES: Del pizarrón anterior Sin embargo, demostraremos más adelante que Esto último da un procedimiento suficiente (pero no necesario) para probar que f es diferenciable: hallar las derivadas parciales en un punto p genérico (si existen) y demostrar que son continuas.

8 CLASE 12 PARTE 2: DIFERENCIABILIDAD Cálculo del diferencial.
Bibliografía de la Clase 12: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 24, 25 y 26. Ejercicios para las clase 12 Práctico 4 del año 2006, ejercicios 6, 7, 9 y 10. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

9 DEFINICIÓN: Si f es diferenciable en el punto a
se llama DIFERENCIAL de f en al punto a: o (según el autor) también a la transformación lineal:

10 EJEMPLO. Calcular el diferencial de f en (0,0) siendo:
f es diferenciable porque sus derivadas parciales son continuas.

11 Relación con continuidad y derivadas direccionales
CLASE 12 PARTE 3: DIFERENCIABILIDAD Relación con continuidad y derivadas direccionales Bibliografía de la Clase 12: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 24, 25 y 26. Ejercicios para las clase 12 Práctico 4 del año 2006, ejercicios 6, 7, 9 y 10. Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

12 TEOREMA. Diferenciabilidad y continuidad.
f diferenciable en a f continua en a. Dem.

13 TEOREMA. Diferenciabilidad y derivadas direccionales.
f diferenciable en a Existen derivadas direccionales y son Dem.

14 D(f o g)(a) = Df(g(a)) . Dg(a)
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIABILIDAD: La suma de funciones diferenciables es diferenciable y 2. El producto de una función diferenciable por un real es diferenciable y 3. Veremos más adelante que la composición f o g de funciones diferenciables es diferenciable, y que vale la REGLA de la CADENA D(f o g)(a) = Df(g(a)) . Dg(a)