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Interpolación Forma de Lagrange para interpolación polinomial Dra. Nélida Beatriz Brignole.

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Presentación del tema: "Interpolación Forma de Lagrange para interpolación polinomial Dra. Nélida Beatriz Brignole."— Transcripción de la presentación:

1 Interpolación Forma de Lagrange para interpolación polinomial Dra. Nélida Beatriz Brignole

2 Aproximación de Funciones Interpolación Cuadrados Mínimos

3 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole3 Ajuste de Datos

4 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole4 Cuadrados Mínimos

5 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole5 Interpolación

6 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole6 Teorema (existencia y unicidad)

7 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole7 Interpolación Lagrange Splines

8 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole8 Fórmula de Interpolación

9 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole9 Características Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde Mal condicionada

10 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole10 Forma de Lagrange

11 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole11 Forma de Lagrange polinomio de interpolación de grado n para una tabla con (n+1) puntos (asumiendo abscisas x i distintas) n diferentes formas de construir este polinomio ( s algoritmos). Una alternativa es Lagrange. El polinomio de Lagrange se escribe como: Donde i ( x ) con 0 i n son polinomios de grado n con la propiedad: (1.a) (1.b) Delta de Kronecker

12 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole12 Construcción del polinomio La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación. 0 i n Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange : Para satisfacer (1.a) i (x) debe tomar la forma: (2) Para satisfacer (1.b) debe ser:

13 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole13 Construcción del polinomio Reemplazando (3) en (2): (3)

14 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole14 Construcción del polinomio Puede probarse que: Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano.

15 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole15 Representación para abscisas equidistantes Suele haber tablas matemáticas en las que: Se introduce una nueva variable s, que mide la distancia entre x y x 0 en unidades de h : i Si tenemos en cuenta lo siguiente:

16 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole16 Representación para abscisas equidistantes OBS: La representación es independiente de h

17 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole17 Existencia y unicidad del polinomio de interpolación Teorema: Si x 0, x 1,..., x n son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y 0, y 1,..., y n polinomio p n de grado n tal que: (0 i n) Demostración: a) UNICIDAD (por contradicción) Supongamos que existen dos polinomios distintos p n (x) y q n (x). Entonces,grado( p n (x) ) n y grado( q n (x) ) n

18 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole18 Demostración Si generamos el polinomio diferencia: grado( d n (x) ) n (*) Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos, 0 i n x 0, x 1,..., x n son (n+1) raíces del polinomio d n (x)

19 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole19 Demostración de unicidad donde grado( d n (x) ) = n +1 + grado( z(x) )(1) ó bien z(x) 0(2) Si se verifica (1) Como grado( z(x) ) 0 grado( d n (x) ) n+1(**) Si comparo (*) con (**) una contradicción Y lo que ocurre es (2) d n (x) = 0 p n (x) = q n (x) CQD

20 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole20 Demostración de existencia b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio) Base: n=0 (obvia) (x 0,y 0 ) p 0 (x 0 ) = cte (grado 0) p 0 (x 0 ) = y 0 p 0 (x 0 ) = y 0 = cte Hipótesis inductiva: asumo que p k-1 (x) de grado a lo sumo (k-1) tal que p k-1 (x i )=y i 0 i k-1 qpq p k-1 (x), grado ( p k-1 (x) ) k tal que p k (x)=y i 0 i k-1

21 Computación CientíficaDra. Nélida Beatriz Brignole21 Demostración de existencia Construyo: Obs: p k (x) interpola los datos (x i, y i ) 0 i k-1 determinemos el coeficiente c de modo tal que p k (x k )= y k Reemplazando queda: Como por hipótesis x k y j k j el polinomio es 0 c CQD


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