Forma de Lagrange para interpolación polinomial

Presentación del tema: "Forma de Lagrange para interpolación polinomial"— Transcripción de la presentación:

1 Forma de Lagrange para interpolación polinomial
Dra. Nélida Beatriz Brignole

2 Aproximación de Funciones
Interpolación Cuadrados Mínimos

3 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Ajuste de Datos Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

4 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Cuadrados Mínimos Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

5 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Interpolación Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

6 Teorema (existencia y unicidad)
Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

7 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Interpolación Lagrange Splines Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

8 Fórmula de Interpolación
Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

9 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Características Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde Mal condicionada Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

10 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Forma de Lagrange Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

11 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Forma de Lagrange  polinomio de interpolación de grado  n para una tabla con (n+1) puntos (asumiendo abscisas xi distintas) n diferentes formas de construir este polinomio (s algoritmos). Una alternativa es Lagrange. El polinomio de Lagrange se escribe como: Donde i(x) con 0  i  n son polinomios de grado n con la propiedad: (1.a) (1.b) Delta de Kronecker Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

12 Construcción del polinomio
La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación. 0  i  n Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange: Para satisfacer (1.a) i(x) debe tomar la forma: (2) Para satisfacer (1.b) debe ser: Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

13 Construcción del polinomio
 (3) Reemplazando (3) en (2): Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

14 Construcción del polinomio
Puede probarse que: Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano. Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

15 Representación para abscisas equidistantes
Suele haber tablas matemáticas en las que: i   Se introduce una nueva variable s  , que mide la distancia entre x y x0 en unidades de h: Si tenemos en cuenta lo siguiente: Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

16 Representación para abscisas equidistantes
 OBS: La representación es independiente de h Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

17 Existencia y unicidad del polinomio de interpolación
Teorema: Si x0, x1,..., xn son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y0, y1,..., yn  polinomio pn de grado n tal que: (0  i  n) Demostración: a) UNICIDAD (por contradicción) Supongamos que existen dos polinomios distintos pn(x) y qn(x). Entonces, grado(pn(x))  n y grado(qn(x))  n Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

18 Dra. Nélida Beatriz Brignole
Demostración Si generamos el polinomio diferencia:  grado(dn(x))  n (*) Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos,  0  i  n   x0, x1,..., xn son (n+1) raíces del polinomio dn(x) Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

19 Demostración de unicidad
 donde grado(dn(x)) = n +1 + grado(z(x)) (1) ó bien z(x)  (2) Si se verifica (1) Como grado(z(x))  0  grado(dn(x))  n+1 (**) Si comparo (*) con (**)   una contradicción Y lo que ocurre es (2)  dn(x) =  pn(x) = qn(x) CQD Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

20 Demostración de existencia
b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio) Base: n=0 (obvia) (x0,y0)  p0(x0) = cte (grado 0) p0(x0) = y p0(x0) = y0 = cte Hipótesis inductiva: asumo que  pk-1(x) de grado a lo sumo (k-1) tal que pk-1(xi)=yi 0  i  k-1 qpq’  pk-1(x) , grado (pk-1(x))  k tal que pk(x)=yi 0  i  k-1 Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole

21 Demostración de existencia
Construyo: Obs: pk(x) interpola los datos (xi, yi) 0  i  k-1 determinemos el coeficiente c de modo tal que pk(xk)= yk Reemplazando queda:  Como por hipótesis xk yj  k j  el polinomio es  0   c CQD Computación Científica Dra. Nélida Beatriz Brignole