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CAOS NUEVAS CONCEPCIONES DE LA CIENCIA REFERENTES AL AZAR, AL ORDEN, AL DESORDEN Y A LO INESTABLE. SU VISIÓN DESDE LA ASTRONOMÍA RESUMEN: CAPITULO 1 EL.

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1 CAOS NUEVAS CONCEPCIONES DE LA CIENCIA REFERENTES AL AZAR, AL ORDEN, AL DESORDEN Y A LO INESTABLE. SU VISIÓN DESDE LA ASTRONOMÍA RESUMEN: CAPITULO 1 EL RELOJ DE NEWTON Y CAPITULO 1 ¿JUEGA DIOS A LOS DADOS? POR: GABRIEL CONDE A. UNIVALLE. EIIE

2 Panorama del Sistema Solar 9 planetas con atracción principal del Sol. También todos afectan a todos. Se producen pequeñas oscilaciones referentes a un movimiento básico causadas por estas interacciones originando desviaciones de una geometría perfecta.

3 Componentes mayores = El Sol, Júpiter Componentes menores = los otros planetas Componentes Pequeños = asteroides, satélites, cometas. La Tierra gira en orbita casi circular, se balancea, apartándose de un movimiento puro y simple.

4 Si el eje de la Tierra estuviera en el plano orbital

5 Sistema Solar Interior, sus pequeñas iregularidades, una geometría casi perfecta

6 El ecuador celeste y la eclíptica

7 Sin embargo se presentan ciclos predecibles como las estaciones, que dan confianza pensando en una estabilidad

8 EJEMPLO DE REGULARIDAD EN EL PLANETA : VEGETACIÓN

9 La órbita y los movimientos de la Luna: casi 13 ciclos cuando el Sol da 1.

10 Retrogradación de un planeta exterior

11 Con alguna regularidad las estrellas desaparecen en ciertas épocas del año y aparecen en otras

12 Antiguamente el Universo nos sugería confianza: Nos dimos cuenta que con buena geometría podíamos representar los movimientos celestes y se podían predecir: estaciones, eclipses. Determinar: fiestas, horóscopo, siembras, ayudar a la navegación.

13 Pero observaciones de años y siglos revelan sutiles desviaciones en esos patrones que sugieren a su vez otros patrones de mayor alcance. Por ejemplo el movimiento de precesión.

14 Precesión de los equinoccios

15 Estos son ejemplos que podemos observar en lo cotidiano pero que nos remiten a los aspectos gravitacionales, que son fundamentales en el resumen.

16 La inestabilidad ¿Estas diversas influencias entre los cuerpos moverán a dichos cuerpos sólo ligeramente? o ¿estas pueden conducir con el tiempo a cambios radicales e irreversibles? ¿Seguirán los planetas describiendo más o menos las mismas trayectorias siempre? o ¿llegará el tiempo en el que Marte choque catastróficamente? o Plutón escape del sistema?

17 Estas son preguntas que plantean el problema de la estabilidad (inestabilidad) del sistema solar y han inquietado a los astrónomos durante los últimos 200 años y aún sigue sin solución. Las ideas sobre caos tiene mucho que ver con esto de la inestabilidad del sistema solar.

18 Una pregunta fundamental Aparte de los asteroides, cometas y cuerpos pequeños el SS solo tiene 9 planetas y el Sol que interactúan con la fuerza de gravedad (la más significativa) y las relaciones matemáticas entre fuerzas, masas y distancias son conocidas desde hace 300 años. Debería ser posible calcular las posiciones de los planetas en cualquier tiempo y explorar lo que las leyes de la física tienen para el SS ¿Será esto así?

19 La respuesta es: NO La dificultad radica en que una cosa es escribir y plantear las ecuaciones y otra cosa es resolverlas. Esta no es tarea fácil. Hoy usamos grandes computadores para ello. Sin embargo no es suficiente para predicciones con un orden de magnitud mayor a decenas de millones de años.

20 ¿Ecuaciones? ¿De que tipo? ¿Con que características? Estas ecuaciones las enmarcamos dentro de la teoría de los sistemas dinámicos. Muchas de ellas modelan sistemas físicos que dependen del tiempo e involucran cantidades (o cambios de esas cantidades) importantes en la descripción de un fenómeno.

21 Normalmente se constituye un sistema de ecuación diferenciales. Lo que esto nos dice en la práctica es: Supongamos que en un instante dado conocemos la posición y la velocidad de un cuerpo, las ecuaciones nos proveen una regla que se aplica a dichos números, para obtener la posición y la velocidad en el instante siguiente. La regla se sigue aplicando una y otra vez hasta obtener una trayectoria o unos valores en un instante deseado. (Stewart I. 1991)

22 LOS SISTEMAS DINÁMICOS Un sistema de k variables que evoluciona en el tiempo puede estudiarse como una variable vectorial x R k dependiente de la variable temporal t, de tal manera que el estado x n+1 del sistema en el instante n + 1 se obtiene del estado x n del sistema en el período anterior a través de cierta función vectorial f mediante la relación x n+1 = f(x n ).

23 Estos sistemas se llaman sistemas dinámicos discretos. Aquí es posible obtener la secuencia x 0, x 1, …, x n de sucesivos estados del sistema (órbita de x 0 ) de forma que: x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ) = f 2 (x 0 ), x 3 = f(x 2 ) = f 3 (x 0 ), …, x n = f n (x 0 ).

24 Existe contraparte continua: Sistemas dinámicos autónomos que se modelan con las formas dx/dt = f(x(t)).

25 Si f es lineal tenemos invariantes y atractores sencillos. Si f es no lineal (así sea muy simple) tenemos invariantes y atractores complicados que definen dinámicas complejas.

26 Lo estable Si el sistema es de sólo dos cuerpos (Sol, Tierra) realmente tenemos una sola ecuación y es relativamente sencilla su solución. Las matemáticas confirman que este sistema (dos cuerpos) es estable. La tierra giraría eternamente alrededor del Sol.

27 SIMULADOR CON SISTEMAS ESTABLES: *EL SISTEMA TIERRA - LUNA EL SISTEMA SOLAR *SISTEMA DOBLE DE ESTRELLAS *PHOBOS, DEIMOS Y AMALTHEA

28 Deimos en Números Descubierto porAsaph Hall Fecha del descubrimiento1877 Masa (kg)1.8e+15 Masa (Tierra = 1)3.0120e-10 Radio (km)7.5x6.1x5.5 Radio (Tierra = 1)1.1759e-03 Densidad media (gm/cm^3)1.7 Distancia media desde Marte (km)23,460 Período rotacional (días) Período orbital (días) Velocidad orbital media (km/seg)1.36 Excentricidad orbital0.00 Inclinación orbital (grados) Velocidad de escape (km/seg) Albedo geométrico visual0.07 Magnitud (Vo)12.40 Phobos en Números Descubierto porAsaph Hall Fecha del descubrimiento1877 Masa (kg)1.08e+16 Masa (Tierra = 1)1.8072e-09 Radio (km)13.5x10.8x9.4 Radio (Tierra = 1)2.1167e-03 Densidad media (gm/cm^3)2.0 Distancia media desde Marte (km)9,380 Período rotacional (días) Período orbital (días) Velocidad orbital media (km/seg)2.14 Excentricidad orbital0.01 Inclinación orbital (grados)1.0 Velocidad de escape (km/seg) Albedo geométrico visual0.06 Magnitud (Vo)11.3

29 Amalthea en Números Descubierto por Edward Emerson Barnard Fecha de descubrimiento1892 Masa (kg)7.17e+18 Masa (Tierra = 1)1.1998e-06 Radio (km)135x84x75 Radio (Tierra = 1)2.1167e-02 Densidad media (gm/cm^3)1.8 Distancia media desde Júpiter (km)181,300 Período rotacional (días) Período orbital (días) Velocidad orbital media (km/seg)26.47 Excentricidad orbital0.003 Inclinación orbital0.40° Velocidad de escape (km/seg) Albedo geométrico visual0.05 Magnitud (Vo)14.1

30 EJEMPLO DE RESONANCIA ENTRE JUPITER Y UN ASTEROIDE Podríamos creer que es improbable que los períodos orbitales, por ejemplo de un asteroide y un planeta, estén en relación entera (número entero), sin embargo, en el SS existen muchos ejemplos de tal situación.

31 Lo inestable Añadiendo otro planeta la Tierra no necesariamente tendrá órbita estable. Esta perturbación distorsiona la órbita de la tierra y al contrario.

32 Cuerpo (m = 600 t, r = 40 km) girando alrededor de un sistema doble de estrellas

33 ECUACIONES PARA EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS (El problema reducido de Hill)

34 MOSTRAR SIMULADORES CON SISTEMAS INESTABLES: *LA TIERRA EN UN SISTEMA DOBLE *UNA ESTRELLA VISITA EL SS INTERIOR *HYPERIÓN

35 Hiperión en Números Descubierto por William Cranch Bond Fecha de descubrimiento1848 Masa (kg)1.77e+19 Masa (Earth = 1)2.9618e-06 Radio (km)205x130x110 Radio (Tierra = 1)3.2142e-02 Densidad media (gm/cm^3)1.4 Distancia media desde Saturno (km)1,481,000 Período rotacional (días)caótica Período orbital (días) Velocidad orbital media (km/seg)5.07 Excentricidad orbital Inclinación orbital (grados)0.43 Escape velocity (km/sec)0.107 Albedo geométrico visual0.3 Magnitud (Vo)14.19

36 Eje de giro de Hiperión. Caso estable vs inestable

37 Actualmente el problema se resuelve con aproximaciones que requieren muchos cálculos. Se continúa el estudio de estos cálculos para corregir pequeños defectos que echan a perder las predicciones. Con altas precisiones se pueden explorar los sistemas dinámicos y encontrar sutilezas o rarezas dinámicas.

38 El caos Los cálculos, sus métodos y los sistemas de computación han demostrado (lo que Poincaré entendió a principios del siglo XX): La mecánica y las leyes de la física tal como fueron enunciadas por I. Newton son mucho más ricas de lo que el propio Newton y sus sucesores creyeron. Estas ecuaciones encierran no solo lo predecible sino también lo errático y caótico.

39 POINCARÉ Y EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS

40 SECCION DE POINCARÉ

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42 DIAGRAMA DE FASE DE HYPERION

43 LOS SISTEMAS DINÁMICOS TIENEN NATURALEZA DUAL Las ecuaciones tienen una naturaleza dual y en todo sistema físico dinámico pueden presentarse los dos comportamientos: ordenado – predecible irregular – impredecible

44 Aquí encontramos una paradoja ¿Un sistema dinámico determinístico produciendo comportamientos erráticos e impredecibles? Tanto en ciencias (físicas) como en matemáticas caos es el témino técnico usado ahora para describir tal actividad errática (la del problema de los tres cuerpos). Aplicado por primera vez en 1975 por el matemático James Yorke, el caos se refiere al comportamiento aparentemente impredecible de un sistema determinista gobernado por leyes expresadas matemáticamente [I. Peterson (1993)]

45 ¿Como puede ser esto? Con los siguientes ejemplos lo entenderemos: Modelos matemáticos sencillos estudiados con calculadora: x 2, cos(x), 1/x, x 2 – 1, 2x 2 -1 Un modelo matemático interesante y muy estudiado: el modelo logístico. Un fenómeno real: cilindros de Couette

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50 La iteración de la expresión: K.X.(1 – X), 0 < X < 1 Se llama cascada logística.

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52 CARACTERISTICAS DEL CAOS Sensibilidad a las condiciones iniciales. Los gráficos siguientes corresponden a 200 iteraciones para dos valores iniciales muy próximos en la cascada logística con K = 4.

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55 Se presentan estabilidades e inestabilidades Los sistemas se presentan de tal manera que comportamientos estables e inestables se entrelazan o se pueden presentar indistintamente.

56 Lo estable y lo inestable

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59 Flujos de Couette

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61 DATOS DEL SISTEMA SOLAR

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73 BIBLIOGRAFIA Peterson I. El reloj de Newton. Alianza Editorial. Madrid Stewart I. ¿Juega Dios a los dados?. La nueva matemática del caos. Grijalbo Mondadori. Barcelona Braun E. Caos, fractales y cosas raras. Fondo de Cultura Económica. México Talanquer Fractus, fracta, fractal. fractales, de laberintos y espejos. Fondo de Cultura Económica. México 1996.

74 Simulador del Sistema Solar Celestia Solar System ver 1.0a Orbit Xplorer


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