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Números reales NÚMEROS REALES 1 Tema 2 La expresión decimal es periódica mixta: Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que.

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1 Números reales NÚMEROS REALES 1 Tema 2 La expresión decimal es periódica mixta: Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que efectuar la división entre el numerador y el denominador. Pueden entonces ocurrir los siguientes casos: La expresión decimal es exacta: La expresión decimal es periódica pura: Cuidado: algunas calculadoras redondean 1. Números racionales: paso de fracción a decimal 5353

2 Números reales NÚMEROS REALES 2 Tema 2 EJEMPLOS Pasar a decimal 3/4Pasar a decimal 14/11Pasar a decimal 13/6 0,75 Decimal exacto 1, Decimal periódico puro 2, Decimal periódico mixto 3, , = 0.75

3 Números reales NÚMEROS REALES 3 Tema 2 Partes de un número decimal periódico mixto Período: cuarto bloque. Período: primer bloque. Anteperíodo Parte entera Notación: reducimos la escritura. x = ……. Todo número decimal periódico (por ejemplo 2, … = 2,478) tiene tres partes: x = 2, = 2,478 Observa que los números decimales exactos y los números enteros se pueden considerar periódicos sin más que agregar ceros a la derecha. 0,75 = 0, = 3, Todo número racional se puede expresar siempre en forma decimal periódica.

4 Números reales NÚMEROS REALES 4 Tema 2 2. Números racionales: paso de decimal a fracción El decimal periódico 1,25000… = 1,25 es también un decimal exacto. Para pasarlo a fracción multiplicamos por 100 la igualdad x = 1,25, es decir, 100x = 125, x = = ¿Cuál es la forma fraccionaria de x = 1,333… [1]? 1.° Se multiplica en [1] por 10: 10x = 13,333… 2.° Se escribe el valor de x: x = 1,333… 3.° Se restan las dos igualdades: 10x – x = 13,333… – 1,333… 9x = 13 – 1 4.° Se despeja x: Decimal periódico puro Decimal exacto x = = = –

5 Números reales NÚMEROS REALES 5 Tema 2 Todo número decimal periódico se puede expresar siempre en forma fraccionaria. Decimal periódico mixto ¿Cuál es la forma fraccionaria de x = 1,31818… [2]? 1.° Se multiplica en [2] por 1.000: 1.000x = 1.318,1818… [3] 2.° Se multiplica en [2] por 10 para obtener otro número con la misma parte decimal: 10x = 13,1818… [4] 3.° Se restan las dos igualdades [3] – [4]: 1.000x – 10x = 1.318,1818… – 13,1818… 990x = – 13 de donde x = = = –

6 Números reales NÚMEROS REALES 6 Tema 2 Las expresiones decimales no periódicas se llaman números irracionales. Los números irracionales no se pueden escribir en forma de fracción. El conjunto de los números racionales e irracionales se llaman números reales. El conjunto de los números reales se designa por la letra R Ejemplos El número con 1000 cifras decimales 3, Un número decimal cuya ley de formación es no periódica. 2, … Números irracionales

7 Números reales NÚMEROS REALES 7 Tema 2 LA RAÍZ CUADRADA DE 2 La raíz cuadrada de 3, 5, 7, 11, ….., también son números irracionales.

8 Números reales NÚMEROS REALES 8 Tema 2 EL NÚMERO

9 Números reales NÚMEROS REALES 9 Tema 2 El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción. Rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. Espiral de oro con un rectángulo áureo Con su conocido dibujo del hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci ilustró el libro "La Divina Proporción" del matemático Luca Pacioli, editado en EL NÚMERO ÁUREO,

10 Números reales NÚMEROS REALES 10 Tema 2 número de Euler e = C = c · e r·t En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo ¿Habíais imaginado alguna vez que vuestros ahorros y vuestras hipotecas estaban bajo el control del número e ? Algunas fórmulas en las que aparece el número e EL NÚMERO e

11 Números reales NÚMEROS REALES 11 Tema 2 Sucesivas ampliaciones de los números RR 0121/ Q Q / Z Z N N 012

12 Números reales NÚMEROS REALES 12 Tema 2 4. Representación de los números reales Para representar un número racional, por ejemplo, 8/5 = 1,6, se representa primero la parte entera (1) y después la decimal (6). Para representar un número irracional, por ejemplo, 2 = 1, Podemos seguir dos métodos: representación exacta y representación de una aproximación. Representación de una aproximación. Representemos una aproximación de 2 = 1, , por ejemplo 1,4.

13 Números reales NÚMEROS REALES 13 Tema 2 O 1 u. Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta Representación exacta. En la figura, por el teorema de Pitágoras:

14 Números reales NÚMEROS REALES 14 Tema 2 Intervalos Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un segmento de la recta real. Según incluyan o no los extremos del segmento, los intervalos pueden ser cerrados, abiertos y otros que están abiertos por un extremo y cerrado por el otro

15 Números reales NÚMEROS REALES 15 Tema 2 Intervalos abiertos y cerrados Intervalo abierto: (a, b) ab Los extremos no pertenecen al conjunto Intervalo cerrado: [a, b] ab Los extremos sí pertenecen al conjunto

16 Números reales NÚMEROS REALES 16 Tema 2 Intervalos semiabiertos (o semicerrados) Intervalo abierto por la derecha: [a, b) ab Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] ab El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no. El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.

17 Números reales NÚMEROS REALES 17 Tema 2 Semirrectas ilimitadas hacia la derecha a a El extremo izquierdo pertenece al conjunto. El extremo izquierdo no pertenece al conjunto. [a, + ) (a, + )

18 Números reales NÚMEROS REALES 18 Tema 2 Semirrectas ilimitadas hacia la izquierda (–, b) b (–, b] b El extremo derecho no pertenece al conjunto. El extremo derecho sí pertenece al conjunto.

19 Números reales NÚMEROS REALES 19 Tema 2 El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2. El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2. El intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda [0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2. El intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha (0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0. Intervalo cerrado [0,2] Intervalo abierto (0,2) Intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda [0,2) Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha (0,2] EJEMPLOS

20 Números reales NÚMEROS REALES 20 Tema 2 Las décimas, centésimas, milésimas,... se obtienen mediante divisiones de la unidad en 10, 100, 1000,... partes iguales. Una aproximación de un número decimal es otro número decimal que se obtiene suprimiendo los decimales a partir de un orden dado. Formas de aproximar: Truncamiento. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido. Redondeo. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido –Si la primera cifra suprimida es menor que 5, dejamos igual la última cifra. –Si la primera cifra es mayor o igual a 5, aumentamos en una unidad la última cifra que se conserva. 5. Aproximaciones decimales de números irracionales

21 Números reales NÚMEROS REALES 21 Tema 2 Para trabajar con números irracionales es necesario hacerlo con aproximaciones, lo que genera errores. El error absoluto es la diferencia positiva entre el verdadero valor y la aproximación. El error relativo es el error por unidad, es decir el cociente entre el error absoluto y el número. El error puede ser por defecto o por exceso según sea mayor o menor que el número al que representa. Si aproximamos por 3,14 el error absoluto es: 3,14 – 3, = – 0, E = 0, El error relativo será: Se dice que al tomar por 3,14 cometemos un error relativo menor que 0,006

22 Números reales NÚMEROS REALES 22 Tema 2 Sucesivas aproximaciones para representar el número Aproximación entera: Aproximación decimal: 1 1,1 1,21,31,41,51,61,71,81,92 1,4 1,41 1,421,431,441,451,461,471,481,491,5 Aproximación centesimal: Y así sucesivamente… está entre 1 y 2 está entre 1,4 y 1,5 está entre 1,41 y 1,42

23 Números reales NÚMEROS REALES 23 Tema 2 Error cometido en cada aproximación de Todo número irracional se puede expresar mediante una secuencia de números decimales que son aproximaciones por defecto y por exceso de su valor exacto.

24 Números reales NÚMEROS REALES 24 Tema 2 Ordenación de números reales Para comparar números reales se pasan previamente a forma decimal. Luego se comparan los números decimales. ¿Cuál es menor? Se deduce que o que Una interpretación

25 Números reales NÚMEROS REALES 25 Tema 2 Se define el valor absoluto de un número real x de la siguiente forma: Valor absoluto de un número real Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b| O A a B b

26 Números reales NÚMEROS REALES 26 Tema 2 Operaciones con números reales: suma Es imposible sumar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

27 Números reales NÚMEROS REALES 27 Tema 2 Operaciones con números reales: producto Es imposible multiplicar exactamente dos números irracionales ya que tienen infnitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

28 Números reales NÚMEROS REALES 28 Tema 2 Operaciones indicadas con números irracionales Las operaciones con números irracionales se suelen dejar indicadas, y si se necesita se escribe su valor con los decimales adecuados al problema. Las operaciones con números reales verifican las mismas propiedades que las de los números racionales La longitud de una circunferencia de diámetro 8 cm es: 8 cm. La suma dese deja indicada: Siempre que se pueda se debe simplificar la expresión obtenida:


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