Procesos estocásticos 1

Presentación del tema: "Procesos estocásticos 1"— Transcripción de la presentación:

1 Procesos estocásticos 1
Un proceso estocástico es un proceso o sistema que se desarrolla o evoluciona en el tiempo (y/o en el espacio) mientras que pasa por fluctuaciones al azar. Sea X(t)el estado del proceso o el sistema al instante t (por ejemplo el precio de cierre de una acción al final de un día). El conjunto de variables aleatorias X = {X(t), t  T} se denomina un proceso estocástico con T el espacio del parámetro. La unión de los recorridos de las variables X(t) se denomina el espacio de estados E del proceso. 1 Estocástico proviene del griego y significa “al azar” o aleatorio

2 Procesos estocásticos
El precio de una acción al cierre del día en función del día. Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados discreto y en tiempo discreto.

3 Procesos estocásticos
El precio de una acción al instante t durante un día en función del instante t . Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados discreto y en tiempo continuo.

4 Procesos estocásticos
El nivel de tensión de una señal al instante t en función del instante t . Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados continuo (se supone que lo es el nivel de la señal) y en tiempo discreto.

5 Procesos estocásticos
El nivel de tensión de una señal al instante t en función del instante t . Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados continuo (se supone que lo es el nivel de la señal) y en tiempo continuo.

6 Procesos estocásticos
Sea N(t) el número de ocurrencias de cierto suceso en el intervalo (0,t) (número de autos que llegan a un puesto de peaje, consultas a un sitio web, etc). El proceso estocástico N = {N(t), t 0}, en tiempo continuo y espacio de estados discreto, sedenomina proceso de conteo. Propiedades de un proceso de conteo: N(0) = 0 N(t)  0 , t  0 Si s < t  N(s)  N(t) N(t) - N(s) es el número de eventos que ocurrieron después de s pero antes de t.

7 Procesos estocásticos
Un proceso estocástico de conteo donde el tiempo entre ocurrencias es una variable aleatoria con distribución exponencial.

8 Procesos estocásticos
Dos propiedades importantes que puede tener un proceso estocástico. El proceso estocástico X = {X(t), t  T} posee la propiedad de los incrementos independientes si para toda elección t0 < t1 < ... < tn , entonces las variables aleatorias X(t1) - X(t0) , X(t2) - X(t1), X(t3) - X(t2), ..., X(tn) - X(tn-1) son independientes. Las magnitudes de los cambios de estados en intervalos disjuntos son independientes. El proceso estocástico X = {X(t), t  T} posee la propiedad de los incrementos estacionarios si la variable aleatoria X( t + s) - X(t) tiene la misma distribución de probabilidades para todo valor de t y para cualquier s > 0. La distribución de probabilidades de la magnitud del cambio de estado depende solo de la longitud del intervalo de tiempo y no de donde comienza.

9 Procesos estocásticos
Procesos de Poisson Un proceso de conteo N = {N(t), t 0} es un proceso de Poisson de media  > 0 si: El proceso tiene incrementos independientes. Los incrementos son estacionarios. La probabilidad de que exactamente un evento ocurra en un intervalo de tiempo de longitud h es  h + o(h). La probabilidad de que más de evento ocurra en un intervalo de tiempo de longitud h es o(h).

10 Procesos estocásticos
Si N = {N(t), t 0} es un proceso de Poisson de media  > 0 entonces entonces N(t) es una variable aleatoria discreta con distrbución de Poisson de parámetro  t. Los tiempos entre ocurrencias de un proceso de Poisson de media  son variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro .