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Variables Aleatorias Continuas Ingeniería en Sistemas de Información.

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Presentación del tema: "Variables Aleatorias Continuas Ingeniería en Sistemas de Información."— Transcripción de la presentación:

1 Variables Aleatorias Continuas Ingeniería en Sistemas de Información

2 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Introducción Qué es una variable aleatoria? Qué es una variable aleatoria? Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x0, x1, x2, … xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2, … pn-1} Se denomina variable aleatoria, a una variable X que puede tomar un conjunto de valores {x0, x1, x2, … xn-1}, con probabilidades {p0, p1, p2, … pn-1} Para qué sirven las variables aleatorias? Para qué sirven las variables aleatorias? Tipos de variables aleatorias Tipos de variables aleatorias Continua: es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. EJ: Altura de los alumnos de una clase, horas de duración de una pila. Continua: es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. EJ: Altura de los alumnos de una clase, horas de duración de una pila. Discreta: Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. EJ: Número de hijos de una familia, puntuación obtenida al lanzar un dado Discreta: Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. EJ: Número de hijos de una familia, puntuación obtenida al lanzar un dado

3 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Dada una variable aleatoria X, la distribución de probabilidad de X es la función F(X) que asigna a cada evento una probabilidad definida por: Distribuciones Continuas: Distribuciones Continuas: Uniforme Uniforme Normal Normal Exponencial Negativa Exponencial Negativa Distribuciones Discretas: Distribuciones Discretas: Poisson Poisson

4 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Función de Densidad de Probabilidad f(x) Función de Densidad de Probabilidad f(x) Se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del evento. Se relaciona con la Distribución de Probabilidad F(x):

5 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Distribución Uniforme Distribución Uniforme Función de Densidad: Función de Densidad: Media: Media: Varianza: Varianza:

6 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Distribución Normal Distribución Normal Función de Densidad: Función de Densidad: Media (estandar): Media (estandar): Varianza (estandar): Varianza (estandar):

7 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Distribución Exponencial Negativa Distribución Exponencial Negativa Función de Densidad: Función de Densidad: Media: Media: Varianza: Varianza:

8 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Distribución Poisson Distribución Poisson Función de Densidad: Función de Densidad: Media: Media: Varianza: Varianza:

9 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Distribución Poisson Distribución Poisson k es el número de ocurrencias de un evento, λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5. Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas.

10 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Distribuciones de Probabilidad Cuándo se usa esta distribución Cuándo se usa esta distribución La distribución de Poisson se utiliza cuando estamos interesados en medir el número de sucesos aleatorios que suceden en un intervalo fijo. Por ejemplo el número de llamadas recibidas en una centralita telefónica en un periodo de 30 segundos, el número de defectos en una fibra de vidrio de 1 Km de longitud, el número de meteoritos encontrados en una hectárea de tierra desierta, etc...

11 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Algoritmos Generadores de Números Aleatorios en Software Comercial. Algoritmos Generadores de Números Aleatorios en Software Comercial. Métodos de Generación: Métodos de Generación: Transformada Inversa Transformada Inversa Si la variable aleatoria X tiene una FDA F(x), entonces la variable u = F(x) esta distribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto, X se puede obtener generando números uniformes y calculando x = F-1 (u). Caracterización Caracterización Características especiales de ciertas distribuciones permiten generar sus variables usando algoritmos especialmente ajustados para ellas Método del Rechazo Método del Rechazo Composición Composición Convolución Convolución

12 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Distribución Uniforme: Distribución Uniforme:

13 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Distribución Normal: Distribución Normal:

14 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Distribución Exponencial Negativa: Distribución Exponencial Negativa:

15 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Distribución Poisson: Algoritmo para generar v.a. Distribución Poisson: Algoritmo para generar v.a. aux=0; aux=0; N=0; N=0; T=1; T=1; while aux==0 while aux==0 T=T*u;% u: número aleatorio [0,1] T=T*u;% u: número aleatorio [0,1] if (T>exp(-lambda)) if (T>exp(-lambda)) N=N+1; N=N+1; else else aux=1; aux=1; end end x=N;% x: Variable Aleatorioa con Distrib. Poisson x=N;% x: Variable Aleatorioa con Distrib. Poisson

16 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Ejemplos con Matlab

17 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Ejemplos con Matlab: Distribución Uniforme [-5,100]

18 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Ejemplos con Matlab: Distribución Normal µ=-1, σ=0.7

19 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Ejemplos con Matlab: Distribución Exp. Neg λ=1/30

20 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Generación de Distribuciones de Probabilidad Ejemplos con Matlab: Distribución Poisson λ=1

21 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Pruebas de Bondad Pruebas que miden la bondad del ajuste: Pruebas que miden la bondad del ajuste: Chi-cuadrado Chi-cuadrado Kolmogorov – Smirnov Kolmogorov – Smirnov Media Media

22 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Trabajo Práctico N° 3 TemaVariables Aleatorias ContinuasT.P. Nº3 Descripción a)Realizar una librería que proporcione (mediante funciones o métodos) la funcionalidad necesaria para generar valores de variables aleatorias continuas para las siguientes distribuciones: exponencial, poisson y normal. b)Realizar un programa que grafique las distribuciones anteriores utilizando la librería pedida en el punto anterior. (La gráfica se aceptará que se genere en base a un archivo de salida del programa, en Excel). Observaciones Pedido: Segunda semana de clase. Entrega: Tercera semana de clase.

23 Ing Juan P. Pedroni - Simulación Resumen Se definió variable aleatoria. Se definió variable aleatoria. Se presentaron distribuciones de probabilidad más comunes. Se presentaron distribuciones de probabilidad más comunes. Se mostraron algunos métodos de generación de variables aleatorias. Se mostraron algunos métodos de generación de variables aleatorias. Se mostraron ejemplos. Se mostraron ejemplos. Se comentaron las pruebas de bondad existentes. Se comentaron las pruebas de bondad existentes. Se solicitó el T.P. N° 3 Se solicitó el T.P. N° 3


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