Modelo m/Ek/1 Teoría de Colas.

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1 Modelo m/Ek/1 Teoría de Colas

2 Sistemas de colas Distribución Erlang
Desviación estándar Constante Erlang, k = 1 media Erlang, k = 2 Erlang, k = 4 1/2 media Erlang, k = 8 Erlang, k = 16 1/4 media Erlang, cualquier k

3 Teoría de Modelo: m/Ek/1
Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de Erlang, también llamada distribución K. Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro , y su función de densidad es:

4 Teoría de Modelo: m/Ek/1
es decir, es una distribución gamma de parámetros . Por tanto, si la distribución es estacionaria, este caso, es fácil demostrar que la intensidad de tráfico para el sistema es:

5 Teoría de Modelo: m/Ek/1, medidas de desempeño
Número esperado de clientes en la cola Lq Número esperado de clientes en el sistema Ls Tiempo esperado de espera en la cola Wq Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

6 MODELO M/Ek/1 Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales

7 MODELO M/Ek/1 En el caso particular del modelo M/Ek/1 donde la distribución del tiempo de servicio es Erlang de parámetros k y µ y por tanto el tiempo medio de servicio es 1/µ y su varianza es 1/kµ2, la fórmula de Pollaczek-Khintchine determina la expresión de la longitud media de la cola como:

8 Modelo M/Ek/1

9 Usando Tablas de Erlang

10 Modelo M/Ek/1 ejemplo Un carwash puede atender un auto cada 5 min.
La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga  = 3.5 min (aprox.) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

11 Modelo M/Ek/1 ejemplo

12 EJEMPLO Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, el tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación.

13 Datos λ = 2 llamadas/minutos µ = (1 / 20 seg)(60 seg)

14 RESOLUCIÓN La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá: El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador