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Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-1 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson En cualquier serie de medidas,

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1 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-1 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson En cualquier serie de medidas, se espera que la frecuencia de ocurrencia de valores particulares siga alguna ley de distribución. Hay varias distribuciones que son aplicadas en la apreciación estadística e interpretación de datos nucleares. The distribution was discovered by Siméon Denis Poisson ( ) and published, together with his probability theory, in 1838 in his work Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile

2 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-2 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson La distribución binomial Es la distribución fundamental gobernando eventos aleatorios. Las otras distribuciones de frecuencia pueden deducirse de está. Fue la primera distribución de probabilidades enunciada teoricamente. Bernoulli, siglo XVIII : Si p es la probabilidad de que ocurra un evento, q = 1- p es la probabilidad de que no ocurra. 1 experimento. Z experimentos. Cual es la probabilidad de que el evento ocurra x veces?

3 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-3 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Si tiramos tres dados, cuál es la probabilidad de que no salga un seis? Distribución de Poisson

4 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-4 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Si tiramos tres dados, cuál es la probabilidad de que no salga un seis? Distribución de Poisson

5 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-5 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson La distribución Normal Es la aproximación analítica a la distribución binomial, cuando z es muy grande y la variable observada no es un entero. La distribución normal se aplica al caso donde la variable observada puede variar continuamente, por ejemplo, distancia entre dos líneas espectrales. La distribución de Poisson se aplica al caso de variables discontinuas, como el conteo de partículas. Para z grande y valor medio constante m=pz, La probabilidad dP x de que x este entre x y x + dx, es: es la desviación standard

6 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-6 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson La distribución de Poisson, Describe todo proceso aleatorio cuya probabilidad de ocurrencia es pequeña y constante. Esta distribución se aplica esencialmente todas las observaciones hechas en Física Nuclear experimental. La deduciremos a partir de la distribución binomial:

7 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-7 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson Fórmula de Stirling

8 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-8 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson

9 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-9 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson

10 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-10 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson Esta expresión puede obtenerse a partir de primeros principios. Las condiciones necesarias y suficientes son: Todos los átomos son idénticos. La probabilidad de desintegración en un dado intervalo de tiempo es la misma para todos átomos. Los átomos son independientes. La desintegración de uno en un dado intervalo no altera la chance de desintegrarse que otro tiene. La probabilidad de desintegración de un átomo es la misma para todo intervalo de tiempo de igual duración ( =cte y >> obs ). El número total de átomos es grande y el número total de intervalos de tiempo es grande ( promedio estadístico significante).

11 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-11 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson Sea a la probabilidad media de detección de partículas, que resultan de un proceso aleatorio, por unidad de tiempo. a t es el número medio de detecciones en un tiempo t. a t << 1. Podemos suponer que P 1 ( t) es la probabilidad de detectar una partícula en el tiempo t. Basta hacer t suficientemente pequeño

12 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-12 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson Podemos escribir una ecuación diferencial:

13 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-13 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson Deviene la ecuación de Poisson si llamamos m al número medio de partículas detectadas en un intervalo de tiempo t. La distribución de Poisson depende de un único parámetro (m). Esto contrasta con la distribución normal. La desviación standard es la raíz cuadrada del valor medio de las desviaciones cuadráticas:

14 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-14 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson Un detector cuenta impactos en una hora. Suponiendo que los procesos involucrados satisfacen las condiciones enunciadas al establecer las expresiones encontradas. Multiple Choice! Cual es la probabilidad (aproximada) de detectar 7 cuentas en 2 segundos? En medidas de 1 hora, Cuál es la media de cuentas por segundo y con que error ?

15 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-15 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP La distribución de intervalos La distribución de intervalos se obtiene de la distribución de Poisson. Describe la distribución en tamaño de los intervalos de tiempo entre eventos sucesivos en cualquier proceso aleatorio en el cual la razon de ocurrencia media tenga un valor constante de a eventos por unidad de tiempo. La probabilidad de que no haya eventos en un intervalo t, en el que debería haber una media de eventos at, es:

16 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-16 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP La probabilidad de que haya un evento en el tiempo dt es simplemente a.dt La probabilidad combinada de que no haya eventos durante un intervalo de tiempo t y de que haya un evento entre t y t + dt, es: Entonces, en una distribución aleatoria de eventos que siguen la distribución de Poisson y tiene un intervalo medio constante de 1/a, la probabilidad dP t de que la duración de un intervalo particular esté entre t y t + dt, es: La distribución de intervalos

17 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-17 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Se ve que los intervalos más cortos de tiempo, entre los eventos distribuidos al azar, tienen una probabilidad mayor de ocurrir que los intervalos más largos. Si los datos están vinculados a un número largo de intervalos N entonces el número de intervalos mayores que t 1 y menores que t 2 es: Dos casos límite son de interés especial. Haciendo encontramos que el número de intervalos mayor que los de cualquier duración t es Debido a que el intervalo medio es encontramos que los intervalos de mayor duración que el intervalo medio constituyen una fracción n/N = e -1 La distribución de intervalos Haciendo, la ecuación previa muestra que el número de intervalos menores que cualquier duración t es

18 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-18 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP

19 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-19 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Efecto Compton Detector Distribución de Poisson

20 Física Experimental IV Curso 2013 Clase 10 Página-20 Departamento de Física Fac. Ciencias Exactas - UNLP Distribución de Poisson

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