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M/G/1. Cola M/G/1 Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos con tiempos de servicio con una.

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1 M/G/1

2 Cola M/G/1 Muchas veces la hipótesis de tiempos de servicio exponenciales no se ajusta a la realidad. Trataremos con tiempos de servicio con una distribución general. Pero con tiempos de servicio independientes. Trataremos de obtener el tiempo medio de espera en la cola y la longitud media de la cola. Tiempo medio en la cola = longitud media de la cola por el tiempo medio de servicio + probabilidad de ocupación del servidor por el tiempo residual

3 Obtención de parámetros de la M/G/1 Una petición de trabajo que llega al sistema debe esperar al tiempo residual de servicio (si el servidor está ocupado) y a los tiempos de servicio de los trabajos que le preceden en la cola (si existen) Por la propiedad PASTA conocemos que la probabilidad de que un servidor esté ocupado es de ρ Y que el tiempo medio de espera es

4 Cálculos Por el teorema de Little Combinando las dos ecuaciones se obtiene la fórmula de Pollacek – Khinchin –

5 Tiempo residual La media del tiempo residual es de Podemos también a partir de estas fórmulas calcular el tiempo total en el sistema – Tiempo en cola +tiempo de servicio Y número medio de peticiones en el sistema – Longitud media de la cola + ocupación media del servidor (que es igual al tráfico ofrecido)

6 Cálculo del tiempo residual Supongamos que una petición llega cuando se está atendiendo otra petición, y que el tiempo total del trabajo en curso es X (que será una variable aleatoria), y que tendrá una f.d.p. f X (x), Para buscar esa f.d.p. observamos que la probabilidad de que llegue un trabajo estando otro en curso será mayor si la duración del trabajo en curso es larga. Así la probabilidad de que X sea de longitud x deberá ser proporcional a la longitud x y a la frecuencia con la que se produzca esa longitud

7 Cálculo tiempo de vida residual

8 Como la llegada del nuevo trabajo puede ocurrir en cualquier momento de la vida del trabajo en curso con igual probabilidad, tendrá su media en la mitad de X

9 Ep! Recordemos la paradoja de la parada de autobús

10 Paradoja de la parada de bus Los autobuses pasan por una parada siguiendo un proceso de Poisson, el intervalo medio de paso es de 8 minutos. Usted llega a la parado en un instante cualquiera, ¿Cuál será el tiempo medio de espera? – A) 8 MINUTOS – B) 5 MINUTOS – C) 4 MINUTOS – D) NO PUEDE CALCULARSE CON ESTOS DATOS

11 Parada de bus 8 minutos es la respuesta correcta, que parece contraponerse a la lógica de 4 minutos La explicación está en que es mayor la probabilidad de llegar a la parada en intervalos de paso largos W(τ) Tiempo espera llegadas tiempo T

12 Bus Suponemos que X i es el tiempo entre llegadas Cuando T tiende a el número n de triángulos tiende a Que es el área de los triángulos de la figura ¡El mismo resultado !

13 Bus Para tiempos entre llegadas siguiendo una exponencial negativa


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