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Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro Gonzalez.

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1 Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro Gonzalez

2 La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo: ¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡ La clave está en el concepto de función periódica.

3 f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,...
Funciones Periódicas Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T). Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función. Observa que: f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,... Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

4 Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir: Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p. Es decir: T = 6k1p = 8k2p con k1 y k2 enteros. El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.

5 Gráfica de la función T f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) f(t) 24p t 50 100 150
50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p T

6 f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica? Depende. Consideremos la función: f(t) = cos(w1t) + cos(w2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n. Es decir, que cumplan: T = m/w1 = n/w2

7 Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((p+3)t) tenemos que
¿Es periódica? f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t) 2 1 f(t) -1 -2 5 10 15 20 25 30 t

8 Para que exista perioricidad w1/ w2 debe ser
un número racional (n/m). Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: f(t) = sen(nt), donde n es un entero. f(t) = sen2(2pt) f(t) = sen(t) + sen(t + p/2) f(t) = sen(w1t) + cos(w2t) f(t) = sen(2 t)

9 Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)? T1 = 5 T2 = 5 T = 2,5

10 Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos: extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1:

11 ¿Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

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13 T = ?

14 Volvamos al resultado de Euler: ¿Cómo lo alcanzó?
Utilizando la fórmula de Euler para cada término: Integrando término a término: Particularizamos t para encontrar C:

15 Fourier series java applet
(http://www.falstad.com/fourier/)

16 (1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar. No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros. (3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2. Pero no fuera del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximación no es buena en "los extremos"... Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

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20 Jean Baptiste Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Polémica: Joseph-Louis Lagrange ( ) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...

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22 Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio. Lord Kelvin ( ): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...

23 Serie trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ... + b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ... Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.

24 a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...

25 ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier? Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

26 Ortogonalidad Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

27 Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t <p, ya que ¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?

28 Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...} con w0= 2p/T.

29 Vamos a verificarlo probándolo a pares:
1.- f(t) = 1 vs. cos(mw0t): Ya que m es un entero. w0= 2p/T

30 3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t): w0= 2p/T
2.- f(t) = 1 vs. sen(mw0t): 3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t): w0= 2p/T cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] cos2q = ½ (1+cos2q)

31 4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t):
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2q) 4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t): 5.- sen(mw0t) vs. cos(nw0t): sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

32 ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...} con w0= 2p/T, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:

33 Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
0, si m ≠ 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

34 Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte: T, si m = 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

35 Similarmente, multiplicando por sen(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

36 La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T: La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: f(t) 1 t T/ T/ T -1 w0= 2p/T

37 Coeficiente a0:

38 Coeficientes an:

39 Coeficientes bn:

40 Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0 = p (w0= 2p/T), es decir, T = 2:

41 Componentes de la Serie de Fourier
-1 -0.5 0.5 1 -1.5 1.5 Componentes de la Serie de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer armónico quinto armónico séptimo armónico Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

42 de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.

43 los coeficientes para:
f(t) Habíamos calculado los coeficientes para: 1 t T/ T/ T -1 Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos: f(t) 1 t T/ T/ T -1 Repite los cálculos y compruébalo.

44 para cualquier intervalo de longitud el periodo
f(t) De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo: 1 t -1 t t0 +T

45 Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.

46 Calcula la serie de Fourier de la función periódica:

47 A veces se habla de extender de forma par o impar una función:
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. A veces se habla de extender de forma par o impar una función: t Extensión par t Extensión impar

48 Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

49 En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

50 Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares?
f(t) = t + 1/t , g(t) = 1/(t2+1). Solución: Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar. Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.

51 Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria). Solución: Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)). Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)). Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t), finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

52 Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2) h(t) = cos (2+t2) + 1 h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2 etc... Ya que todas tienen la forma f(1+t2).

53 Si f (x) es par: a -a

54 Si f (x) es impar: a -a

55 Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que: Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n. Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

56 Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: 1 f(t) t T/ T/ T -1

57 Simetría de media onda Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo: f(t) t

58 Simetrías y Coeficientes de Fourier
Funciones en la serie Ninguna senos y cosenos Par bn= 0 únicamente cosenos Impar an= 0 únicamente senos Media onda Senos y cosenos impares

59 Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental 0 = 1) y  un número real no entero, es:

60 Observa que si tomamos t = 0 entonces:
y con  = 1/2.

61 O que si tomamos t = π entonces:
¿Es correcto el resultado?

62 x(t) E time (t) -2 2 4

63 Fourier Series of Square Wave

64 Triangle Wave

65 Right Triangular Wave

66 Saw Tooth Wave

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76 Convergencia uniforme
Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme. Sea la serie infinita: y definamos sus sumas parciales como:

77 Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si
 > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.: Observemos que en general N dependerá de  y del punto x (convergencia puntual). Si N solo depende de , pero no de x, decimos que la convergencia es uniforme. Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:

78 (1) Si cada término un(x) de una serie es
continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces: (a) f(x) es también continua en (a, b). (b) (2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:

79 ¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o (2) utilizar la prueba M de Weierstrass: Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)|  Mn y además

80 Ejemplo:

81 Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias. (1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo. (2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos (3)

82 Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a: si x es un punto de discontinuidad.

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94 Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-p, p) de la siguiente
función: Tenemos que calcular los al y los bl de la siguiente serie: como el intervalo es el (- p, p):

95 n ≠ 0 n ≠ 1

96 n ≠ 1, 0

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98 n ≠ 1

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100 Comprobar que el número p puede escribirse en la forma siguiente:
Ayuda: utilizar el desarrollo de Fourier que habíamos obtenido para la función de Heaviside:

101 Si calculamos la norma al cuadrado del vector h(x), es decir, el
producto de escalar de esa función por sí misma: Pero la norma al cuadrado del vector h(x), la podríamos calcular también del siguiente modo:

102 Como teníamos de antes que:

103 Fenómeno de Gibbs Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t). Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:

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109 Fenómeno de Gibbs

110 Fenómeno de Gibbs

111 Outline: Central Scientific Problem – Artificial Intelligence Machine Learning: Definition Specifics Requirements Existing Solutions and their limitations Multiresolution Approximation: Limitation Our Approach. Results. Binarization. Plans.

112 Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T = 2p/w0. Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

113 Sustituyendo: Y usando el hecho de que 1/i = -i: Y definiendo:

114 A la expresión obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: Para n = 0, 1, 2, 3, ... Demostrarlo. ¿Forma un conjunto ortogonal?

115 Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y 1 f(t) t T/ T/ T -1

116 Podemos calcular los coeficientes cn:
Entonces la serie compleja de Fourier queda:

117 Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

118 Como w0T = 2p y además: que coincide con el resultado ya obtenido.

119 Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:

120 j impar j impar -ip0x j impar j impar

121 Calcular la serie de Fourier de la función g(x)=|x| en la base
ortogonal {exp(inpx)/√2p} definida en el intervalo (-1,1).

122 l ≠ 0

123

124 Si queremos pasar a la base de senos y cosenos:

125 Calcular la parte real de la serie de Fourier de la función
g(x)= exp[(2+i)x] definida en el intervalo (-p,p).

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128 Sea la siguiente función, f(x):
a) Calcular la serie de Fourier de esta función en el intervalo (0,2) tanto en función de exponenciales complejas como de senos y cosenos. b)Representar la función correspondiente a la serie en el intervalo (-2,6).

129 l ≠ 0

130 j impar j≠0 j impar j impar

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134 La función impulso o delta de Dirac
d(t) Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones: d(t) f3(t) f2(t) f1(t) t

135 Propiedades de la función d
t d(t)

136 Calcular la serie de Fourier de d(x):

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147 Calcular la serie de Fourier de D(x):

148 Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
Observemos que, Donde , para todo n  0. Y para n = 0, c0 es un número real:

149 Espectros de frecuencia discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

150 Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada: Encontramos que: Por lo tanto: 1 f(t) t T/ T/ T -1

151 A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w = nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.

152 El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de w0). -30 -20 -10 10 20 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Espectro de Amplitud de f(t) n Cn  Frecuencia negativa (?) Frecuencia

153 El espectro de magnitud de una f(t) real, es una función PAR por lo que la gráfica para n  0 contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud. El espectro de fase de una f(t) real, es una función IMPAR por lo que la gráfica para n  0 contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase.

154 Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos:
ancos(nw0t) + bnsen(nw0t) se pueden expresar como: Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:

155 Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:
bn qn an Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:

156 Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
Con: Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:

157 Componentes y armónicos
Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: wn = nw0. A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: cn cos(nw0t + qn) se le llama el enésimo armónico de f(t). Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t). A la frecuencia w0= 2p f0 = 2p / T se le llama frecuencia angular fundamental.

158 Su componente fundamental (n = 1) será:
Ejemplo: La función Como vimos, tiene un periodo T = 24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0 = 2p/T = 1/12 rad/s. O como w0= 2pf0, f0 = 1/T = 1/ 24p Hz. Su componente fundamental (n = 1) será: c0 cos(w0t + q0) = 0 cos(t/12). Tercer armónico: cos(3t/12) = cos(t/4) Cuarto armónico: cos(4t/12) = cos(t/3) 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p

159 Componentes y armónicos (y 2)
A la componente de frecuencia cero c0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo. Los coeficientes cn y los ángulos qn son respectivamente las amplitudes y los ángulos de fase de los armónicos.

160 arriba como abajo" de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.
Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas "áreas positivas como negativas", por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio Tiene tantas "áreas arriba como abajo" de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1. 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p

161 Diferenciación de señales periódicas:

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163 5 10 -5 -10 20 T0 = 10 f(t) t f(t) = 4t - 20 5 10 -5 -10 4 T0 = 10 f '(t) t -4 Observa que al derivar la serie se pierde la información acerca de la componente continua de f''(t)

164

165 f(t) f ''(t) 5 10 -5 -10 20 T0 = 10 t f(t) = 4t - 20 5 10 -5 -10 4
-4 5 10 -5 -10 8 T0 = 10 f ''(t) t -8

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167 Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t) f(t) 1 T Area = T h h = Altura promedio t

168 De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por: Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.

169 El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t): O bien, en términos de los coeficientes an, bn:

170 Teorema o identidad de Parseval

171 Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado:
El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir: Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

172 Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie Y los coeficientes reales Cn de la serie Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

173 Por un lado Mientras que Entonces, Por lo tanto, Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrático medio es Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrático medio será C02.

174 Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
Solución. Del teorema de Parseval y del ejemplo anterior sustituyendo 1 f(t) t T/ T/ T -1

175 La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto, Como era de esperar.

176 Identifying a telephone number http://math. arizona
MATLAB: phone (who’s spying on you?)


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