La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE AGRONOMÍA POSTGRADO EN ESTADÍSTICA Distribuciones Normales Bivariadas y Multivariadas.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE AGRONOMÍA POSTGRADO EN ESTADÍSTICA Distribuciones Normales Bivariadas y Multivariadas."— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE AGRONOMÍA POSTGRADO EN ESTADÍSTICA Distribuciones Normales Bivariadas y Multivariadas

2 DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES Cuando hay más de una variable aleatoria presente (es decir, hay dos o más), siempre está la posibilidad de que de alguna manera estén relacionadas. Por eso se trabaja con su función de distribución conjunta (y su función de densidad conjunta, continua o discreta).

3 DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES Se habla en ese caso de un vector aleatorio (lo anotaremos aquí X), distribuido según una función de distribución F X que ahora toma sus valores en n (donde n es la cantidad de variables). Habrá, como antes en el caso unidimensional, una función de densidad f X, que verificará: Para el caso continuo: Y para el discreto:

4 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Sea ( X, Y ) una variable bidimensional continua que toma todos los valores en el plano euclidiano. Decimos que ( X, Y ) tiene distribución normal bivariada si su función conjunta está dada por:

5 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA La función generadora de momentos de la distribución normal es: Y los momento pueden ser hallados calculando las derivadas de m(t 1, t 2 ) en t 1 =0, t 2 =0. Así, pues

6 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Y, por tanto la varianza de x es, Análogamente derivando respecto a t 2, se halla la media y la varianza de y, que son Se obtienen también los momentos mixtos Derivando m(t 1,t 2 ) r veces respecto a t 1 y s veces respecto a t 2, y haciendo a continuación t 1 y t 2 iguales a cero. La covarianza de x y y es :

7 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA El parámetro es el coeficiente de correlación entre las variables X e Y :

8 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

9 Si = 0, entonces X e Y son independientes, o sea: Ahora, el valor medio de una variante en una distribución condicional recibe el nombre de regresión cuando se considera como función de las variantes fijadas en la distribución condicional.

10 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Así, la regresión para x es: Que en este caso es una función lineal de y. Para distribuciones bivariantes en general, la media de x en la distribución condicional de x, dado y=y, será cierta función g(y) y la ecuación x=g(y). Representada en el plano x,y da la curva para x. Se trata de una curva que da la situación de la media de x para los diversos valores de de y en la densidad condicional de x dado y.

11 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Para la distribución normal bivariante, la curva de de regresión es la recta obtenida representando: Figura 1. Curva de de regresión para distribución normal bivariante, y la función de densidad condicional de x para los valores particulares y 0 y y 1, de y.

12 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Ejemplo: Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N (, ), siendo : Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X. - ¿Cuál es el valor más probable de Y?

13 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA Primero sacamos 1 y 2 (sacándole raíz a los elementos de la diagonal), y luego con eso obtenemos. La respuesta consiste en encontrar:

14 A) Variables independientes B) Variables dependientes DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

15 Ejemplos de correlación nula DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

16 Ejemplos de correlación lineal positiva: cercano a 1 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

17 Ejemplos de correlación lineal negativa: acercándose progresivamente a -1 DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

18 La mayoría de los métodos multivariados tradicionales dependen de vectores de datos que son muestras aleatorias provenientes de distribuciones normales multivariadas. Entonces es importante comprender qué se requiere para que un vector de variables aleatorias como: Sea multivariado normalmente distribuido Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

19 Se dice que un vector de variables aleatorias Tiene una distribución normal multivariada si: Tiene una distribución normal univariada para todos los conjuntos posibles de valores seleccionados para los elementos en el vector a. Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

20 La distribución Normal escalar tiene como función de densidad: Y escribimos X N (, σ 2 ) para expresar que x tiene distribución normal con media y varianza σ 2. Generalizando esta función, diremos que un vector x sigue una distribución Normal p-dimensional si su función de densidad es:

21 Las propiedades principales son: Las distribución es simétrica alrededor de La simetría se comprueba sustituyendo en la densidad x por ±a y observando f( +a)= f( –a). La distribución tiene un único máximo en Al ser V definida positiva, el término del exponente es siempre positivo, y la densidad f(x) será máxima cuando dicho término sea cero, lo que ocurre para x=. La media del vector aleatorio Normal es y su matriz de varianzas y covarianzas es V. Estas propiedades, que pueden demostrarse rigurosamente, se deducen al comparar las densidades univariante y multivariante. Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

22 Si p variables aleatorias tienen distribución conjunta normal y están incorreladas son independientes. La comprobación de esta propiedad consiste en tomar en la definición la matriz V diagonal y comprobar que entonces f(x)=f(x 1 ),…, f(x p ). Cualquier vector x Normal p-dimensional con matriz V no singular puede convertirse mediante transformación lineal en un vector x normal p-dimensionales con vector de medias 0 y matriz de varianzas y covarianzas igual a la identidad (I). Llamaremos normal p- dimensional estándar a la densidad de Z, que vendrá dada por: (1) Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

23 La demostración de esta propiedad es como sigue: al ser V definida positiva existe una matriz cuadrada A simétrica que consideramos su raíz cuadrada y verifica: V=AA Definiendo una nueva variable: Z=A -1 ((x - ), entonces x= +AZ y la función de densidad de z es: f z (Z)=f x ( +AZ)|A| y utilizando AV -1 A=I, se obtiene (1). Por tanto, cualquier vector de variable Normales X en R p puede transformarse en otro vector R p de variables normales independientes y de varianza unidad. Las distribuciones marginales son normales. Si las variables son independientes la comprobación de esta propiedad es inmediata. (2) Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

24 Cualquier sub conjunto de h



Descargar ppt "UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE AGRONOMÍA POSTGRADO EN ESTADÍSTICA Distribuciones Normales Bivariadas y Multivariadas."

Presentaciones similares


Anuncios Google