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CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (I) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Nació el 30 de Abril de 1777.

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1 CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (I) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Nació el 30 de Abril de 1777 en el ducado de Brunswick-Lüneburg (Alemania), en un entorno poco proclive a las matemáticas, hijo de una familia humilde y trabajadora. Como la mayor parte de los genios Gauss se manifestó como niño prodigio a muy temprana edad, aprendió a leer por su cuenta y a los tres años ya sumaba y restaba, mostrando un talento natural para los números que causaba la admiración de todos los que le rodeaban. De su madre, Dorothea Benze, que no había recibido ningún tipo de educación, heredó la inteligencia, y su tío Friedrich hermano de su madre, fue quien le estimuló a interesarse por el universo de los números y que resultó fundamental en su posterior carrera como matemático. Su padre, Gebhard Dietrich, hombre honesto y trabajador, no estaba de acuerdo con que su hijo prosiguiera sus estudios en el campo de la Ciencia, dado que la solvencia económica familiar no era lo suficientemente holgada, sin embargo, Dorothea fue quien empujó a su hijo hacia el conocimiento. Con siete años Karl inicia sus estudios elementales en la Escuela dirigida por el señor Büttner, Katherinen Volkschule, asombrando a sus maestros por su capacidad de cálculo y de razonamiento. Con tan sólo diez años de edad descubrió de forma intuitiva la fórmula de la suma de las progresiones aritméticas : 1+100= 2+99= 3+98=….=48+53=49+52=50+51 Luego 50 x 101= Impresionado con su alumno, Büttner le regaló el mejor manual de aritmética que existía en la época y le manifestó que nada más podía enseñarle. Aparece en su vida Christian Martin Bartels un joven profesor de matemáticas en su misma escuela y asistente de Büttner, que años más tarde sería catedrático en la Universidad de Kazán Casa natal

2 CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (II) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Gauss fue el primero en intuir la realidad de una geometría distinta a la de Euclídes. En sus cuadernos de notas se lee el comentario: Estoy convencido de que prescindir del postulado de las paralelas no lleva a ninguna contradicción, aunque se obtengan propiedades que resulten paradójicas. Durante casi 40 años Gauss estudió el Postulado de las paralelas sin mostrar a nadie sus resultados y manteniéndolos cuidadosamente en secreto. La documentación más importante para avalar sus investigaciones es la correspondencia que mantuvo con la familia Bolyai y los comentarios que han podido recopilarse de sus notas personales. Pese a la fuerte oposición de su padre, en 1788 Gauss ingresa en el Gymnasium Catharineum, colegio preparatorio donde estudió latín y griego y progresó en matemáticas. Bartels a través de sus amistades influyentes en la corte, logró presentar a Gauss al Duque Karl Wilhelm Ferdinand, Duque de Brunswick- Wolfenbuttel, ( ), quien pese a las resistencias del clero y la nobleza, llevó a cabo la reforma del sistema de educación. Gauss recibe del Duque una generosa cantidad de dinero para continuar sus estudios, tras la impresión que le causan sus aptitudes para las matemáticas y sus dotes para el cálculo. Con 14 años Gauss abandona la corte con su futuro más inmediato garantizado y el regalo que el Duque le hace, las tablas de logaritmos de Johann Carl Schulze Gauss ingresó en 1792 en el Collegium Carolinum, donde pasó tres años y destacó como el mejor alumno por su capacidad para el análisis científico, para comprender sin esfuerzos teoremas muy complicados y una formación clásica poco habitual para un joven de su edad. Su tenaz estudio de las matemáticas junto a Bartels, dio sus frutos causando el asombro de compañeros y profesores, ya que descubrió por sí mismo la Ley de Bode, (una ley de astronomía que describe la distancia entre el Sol y los planetas), así como comprender el teorema binomial para exponentes racionales. Su deseo de estudiar la distribución de los números primos y los fundamentos esenciales de la geometría le vino de sus lecturas de entonces, Newton, Bernouli y las memorias del matemático suizo Leonhard Euler. Duque Karl Wilhelm Ferdinand, ( )

3 CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (III) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Lo que definitivamente le llevó a decantarse por las matemáticas fue el primero de sus grandes descubrimientos. Así, en 1796 cuando con diecinueve años llevó a cabo la construcción de un polígono regular de diecisiete lados, lo cual significó un gran avance para de las matemáticas, dado que combinó razonamientos geométricos y algebraicos, llegando a la conclusión de que en un polígono de estas características, el número de sus lados debía ser potencia de 2 o potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares. Esta demostración de Gauss perduró como una de las herramientas más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial como la geometría a otro distinto como el álgebra y resolverlo en éste último En 1795 Gauss recibe una nueva beca del Duque que le va a permitir proseguir sus estudios en la Universidad Georgia de Augusta de Göttingen, dudando si convertirse en matemático o en filólogo, siendo su segunda pasión el estudio de las lenguas clásicas y de otros idiomas, para lo cual también tenía una mente privilegiada. Su encuentro con el húngaro Farkas Bolyai apasionado de los números y la geometría como él, hizo que finalmente se decidiera por continuar su labor como matemático. Gauss siempre afirmó que Bolyai fue el único que supo interpretar sus criterios metafísicos sobre las matemáticas. Después de estudiar en Göttingen ( ),Gauss regresa a su pueblo natal y trabaja en investigaciones que tenía en su cabeza desde los 17 años, manteniendo sólo contacto con Bolyai., centrándose en darle forma a la obra sobre la Teoría de los Números, Disquisiciones arithmeticae, concluida en 1798 y publicada en Universidad de Helmstedt A su regreso de Göttingen, Gauss compagina su labor como astrónomo del duque y preceptor particular, con visitas usuales a la biblioteca de la Universidad de Helmstedt, donde le recibía su bibliotecario Johann Friedrich Pfaff, considerado en aquella época el mejor matemático de Alemania y autor de las Disquisiciones analyticae. Éste matemático fue profesor en las universidades de Helmstedt y de Halle, estudió el cálculo diferencial y desarrolló el primer método de integración de ecuaciones en derivadas parciales, siendo una figura clave en la vida de Gauss, los dos acostumbraban a pasear mucho discutiendo temas matemáticos y Gauss sentía devoción por él.

4 CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (IV) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Disquisiciones arithmeticae. La década fue triunfal para Gauss. Esta obra que Karl concibió cuando tan sólo tenía veintiún años y en la que aplicó una teoría que actualmente es utilizada continuamente. Primera sección. Números congruentes. Si un número m divide la diferencia de los números a y b, a y b se dicen congruentes respecto de m, de lo contrario, son incongruentes. Al número m se llama módulo; y a cada uno de los números a y b, residuos del otro. Segunda sección. Congruencias de primer grado. Estudia el lema de Euclides (si p numero primo divide al producto de dos enteros ab, entonces p divide, al menos a uno de los dos enteros a, b). También estudia la descomposición en producto de factores primos y la resolución de congruencias lineales- Tercera sección. Residuos de potencias. Aborda el estudio de las progresiones geométricas de módulo un número primo p. Realiza una nueva demostración del pequeño teorema de Fermat (si p es un número primo, entonces para cada número natural a, se cumple que a p a (mod p)). Disquisiciones arithmeticae. La década fue triunfal para Gauss. Esta obra que Karl concibió cuando tan sólo tenía veintiún años y en la que aplicó una teoría que actualmente es utilizada continuamente. Primera sección. Números congruentes. Si un número m divide la diferencia de los números a y b, a y b se dicen congruentes respecto de m, de lo contrario, son incongruentes. Al número m se llama módulo; y a cada uno de los números a y b, residuos del otro. Segunda sección. Congruencias de primer grado. Estudia el lema de Euclides (si p numero primo divide al producto de dos enteros ab, entonces p divide, al menos a uno de los dos enteros a, b). También estudia la descomposición en producto de factores primos y la resolución de congruencias lineales- Tercera sección. Residuos de potencias. Aborda el estudio de las progresiones geométricas de módulo un número primo p. Realiza una nueva demostración del pequeño teorema de Fermat (si p es un número primo, entonces para cada número natural a, se cumple que a p a (mod p)). Parte del artículo 131 de la primera edición de la Disquisiciones. Cuarta sección. Ley de reciprocidad cuadrática. Sean p, q >2 números positivos primos impares. Entonces, x 2 1 (mod p) tiene solución si y sólo si p 1 (mod 4). x 2 2 (mod p) tiene solución si y sólo si p ±1 (mod 8). Sean q * = ±q donde q * =+q si q 1 (mod 4) y q * = -q si q 1 (mod 4) Entonces x 2 p (mod q) tiene solución si y sólo si x 2 q * (mod p) tiene solución En el año 1799, Gauss puede llevar a la imprenta su disertación doctoral de la Universidad de Helmstedt así como continuar con sus trabajos y finalizar su obra sobre aritmética, todo ello gracias a la renovación de su estipendio por parte del Duque. En la mencionada tesis doctoral demostró el Teorema Fundamental del álgebra, no obstante la prueba que propone no era correcta, por lo que hizo otro par de demostración más tarde en 1816 y en 1849, siendo ésta última una versión de su demostración original.

5 CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (V) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Disquisiciones arithmeticae Quinta sección: Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado. La teoría de las formas cuadráticas binarias las muestra desde una perspectiva aritmética, sumada a una discusión de las formas cuadráticas ternarias con la ley de reciprocidad cuadrática. Sexta sección: Las formas cuadráticas y sus aplicaciones. Aplicación de estas teorías a casos concretos. Séptima sección: Resumió todos los postulados vistos con anterioridad especialmente la teoría de las congruencias binomiales y los traslada a una discusión de la ecuación algebraica. Ecuaciones de las secciones de un círculo. Disquisiciones arithmeticae Quinta sección: Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado. La teoría de las formas cuadráticas binarias las muestra desde una perspectiva aritmética, sumada a una discusión de las formas cuadráticas ternarias con la ley de reciprocidad cuadrática. Sexta sección: Las formas cuadráticas y sus aplicaciones. Aplicación de estas teorías a casos concretos. Séptima sección: Resumió todos los postulados vistos con anterioridad especialmente la teoría de las congruencias binomiales y los traslada a una discusión de la ecuación algebraica. Ecuaciones de las secciones de un círculo. Observatorio de Göttingen A finales del siglo XIX se conocían 7 planetas, siendo Urano el último descubierto. Muchos astrónomos, a partir de la Ley de Bode, afirmaban que entre las órbitas de Marte y Júpiter se encontraba un octavo planeta aunque no detallaban su sitio exacto. En 1800 se comprueba que el cometa visto por Giuseppe Piázzi, en realidad era un planeta bautizado con el nombre de Ceres, Gauss acepta el reto de determinar su posición, y cuando dicho planeta es redescubierto ese mismo año por Von Zach y Olbers, el primero señala que sin el trabajo inteligente y los cálculos de Gauss tal vez jamás podrían haber encontrado de nuevo a Ceres. Para Gauss a sus veinticuatro años supuso todo un desafío pero también la oportunidad para mostrar a todos sus enormes dotes para la aritmética y poder así hacerse un nombre tanto en las matemáticas como en la astronomía. Gracias a Ceres, Gauss es el más popular astrónomo de Europa y un reputado matemático. En 1802 Olbers descubre Pallas y le plantea que establezca la fijación de su órbita, poniéndose nuevamente de manifiesto el método de mínimos cuadrados. Con la muerte del duque Ferdinand (derrotado por Napoleón en 1806), y tras rechazar alguna ofertas que le habían hecho, Gauss se encuentra obligado a un nuevo modo de ganar su sustento y el de su familia, Alexander von Humboldt y algunos otros fieles amigos en su deseo de que Gauss no abandone Alemania le brindan la solución bajo la dirección del Observatorio de Göttingen en donde además de dirigir las cuestiones astronómicas deberá dar clases de matemáticas a los estudiantes, mo entusiasmándole rsto último lo más mínimo.

6 CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (VI) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González La tendencia de Gauss a esconder sus experimentos más espectaculares es consecuencia de la terrible humillación que sufrió al proponer a la Academia Francesa de Ciencias su primera obra maestra, Disquisitiones arithmeticae y que fue rechazada de forma desconsiderada, a partir de entonces decide publicar sólo aquello que tanto de fondo como de forma estuviera más allá de toda posibilidad de crítica. Las demostraciones de Gauss eran siempre impecables, resultaban sorprendentes desde el punto de vista intelectual pues él mismo se encargaba de ocultar las fuentes de su pensamiento y el camino seguido hasta el teorema esperado, Niels Abel decía que Gauss actuaba como el zorro, que borra con su cola sus propias huellas. Durante cuarenta años Gauss estudió el postulado de las paralelas sin mostrar a nadie sus resultados y manteniéndolos cuidadosamente en secreto. Notizenjournal, Así llamó a su diario de notas matemáticas, un pequeño cuaderno de cinco por ocho pulgadas y diecinueve páginas, donde entre y anotó de forma extremadamente escueta las ideas matemáticas que en esos años le sobrevenían. Las 121 primeras notas datan del período entre y cuando estaba estudiando en Göttingen y de sus estancias en Brunswick y Helmstedt. Las ideas llegaban a su mente como avalanchas y la preocupación de olvidarlas y perderlas hizo que las capturara por escrito y fijara así la independencia de las mismas y su prioridad en el tiempo pero jamás pensó en publicarlas. Quizás se trate del diario más importante de la historia de las matemáticas, pues contiene descubrimientos matemáticos esenciales para los avances que esta disciplina experimentó durante el siglo XIX aunque no recoja todos sus descubrimientos. Las notas y los hallazgos en ellas permanecieron ocultos durante casi un siglo, si hubieran sido publicados hubiesen sido motivo de reconocimiento para siempre. Nunca se hicieron públicas durante su vida, nunca reivindicó su prioridad cuando otros autores se anticipaban en la publicación de ideas contenidas en su diario, nadie sabía de la existencia del mismo, ni siquiera su íntimo amigo Bolyai, puede incluso que ni sus esposas ni sus hijos supieran del documento. Notizenjournal, Así llamó a su diario de notas matemáticas, un pequeño cuaderno de cinco por ocho pulgadas y diecinueve páginas, donde entre y anotó de forma extremadamente escueta las ideas matemáticas que en esos años le sobrevenían. Las 121 primeras notas datan del período entre y cuando estaba estudiando en Göttingen y de sus estancias en Brunswick y Helmstedt. Las ideas llegaban a su mente como avalanchas y la preocupación de olvidarlas y perderlas hizo que las capturara por escrito y fijara así la independencia de las mismas y su prioridad en el tiempo pero jamás pensó en publicarlas. Quizás se trate del diario más importante de la historia de las matemáticas, pues contiene descubrimientos matemáticos esenciales para los avances que esta disciplina experimentó durante el siglo XIX aunque no recoja todos sus descubrimientos. Las notas y los hallazgos en ellas permanecieron ocultos durante casi un siglo, si hubieran sido publicados hubiesen sido motivo de reconocimiento para siempre. Nunca se hicieron públicas durante su vida, nunca reivindicó su prioridad cuando otros autores se anticipaban en la publicación de ideas contenidas en su diario, nadie sabía de la existencia del mismo, ni siquiera su íntimo amigo Bolyai, puede incluso que ni sus esposas ni sus hijos supieran del documento. Su talento innato, su facilidad precoz para resolver cálculos siendo tan sólo un niño, su perseverancia traducida en largas noches de insomnio absorto en sus pensamientos y la pasión por las matemáticas, no deteniéndose jamás hasta encontrar la solución al problema, así como su capacidad, al igual que sus admiradísimos Newton y Arquímedes para idear instrumentos que le ayudasen en su trabajo, hacían de él un genio excepcional.

7 ,. CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (VII) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Además de continuar en el Observatorio con sus estudios de astronomía, a fines de 1810 solicitó realizar un estudio geodésico del estado de Hannover llevando a cabo mediciones de diversa índole y realizar todo tipo de cálculos e intercambiar opiniones con el matemático Heinrich Olbers ( ), a ambos les unía una sincera amistad que se remontaba al año cuando Gauss calculaba la órbita del asteroide Ceres. Olbers fue una figura decisiva en la carrera posterior de Gauss como director del observatorio de Göttingen. La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales En 1827 su aportación a la geometría diferencial es coronada con un importante teorema, el theorema egregium en relación a la curvatura de una superficie, que expuso en 1827 en Disquisiciones generales circa superficies curvas. El Heliotropo ideado por Gauss En cualquier punto sobre una superficie podemos encontrar un vector normal que es perpendicular a la superficie, la intersección de un plano que contiene la normal con la superficie se forma una curva llamada una sección normal y la curvatura de la curva es la curvatura normal. Para la mayoría de puntos en la mayoría de las superficies, diferentes secciones que tienen diferentes curvaturas; los valores máximos y mínimos de éstos se llaman las curvaturas principales,. El signo de la curvatura gaussiana se puede utilizar para caracterizar la superficie: Si las dos curvaturas principales tienen el mismo signo, la curvatura gaussiana es positiva y la superficie se dice que tiene un punto elíptico. Si las curvaturas principales tienen diferentes signos, la curvatura gaussiana es negativa y la superficie se dice que tiene un punto hiperbólico. Si una curvatura principal es cero, la curvatura gaussiana es cero y la superficie se dice que tiene un punto parabólico. El signo de la curvatura gaussiana se puede utilizar para caracterizar la superficie: Si las dos curvaturas principales tienen el mismo signo, la curvatura gaussiana es positiva y la superficie se dice que tiene un punto elíptico. Si las curvaturas principales tienen diferentes signos, la curvatura gaussiana es negativa y la superficie se dice que tiene un punto hiperbólico. Si una curvatura principal es cero, la curvatura gaussiana es cero y la superficie se dice que tiene un punto parabólico.

8 ,. CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (VIII) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González En Gauss construye un observatorio magnético en Göttingen y junto a Weber, sentó las bases de la teoría matemática del electromagnetismo. Formuló las leyes del magnetismo terrestre; inventó el magnetómetro bifilar, el telégrafo eléctrico y el heliógrafo. Sus trabajos sobre curvas y superficies prepararon el camino para el principio de un tiempo-espacio curvo. Fue en ese mismo año cuando ambos idearon el primer telégrafo electromagnético el cual unió el Observatorio de Göttingen con el Instituto de Física de la ciudad /separados unos 3 kms), facilitando las mediciones del campo magnético terrestre en muchas partes del mundo pues su método medía la intensidad horizontal de dicho campo. En empieza a colaborar con el profesor de física alemán Wilhelm Weber ( ), en cuyo honor fue bautizada la unidad del Sistema Internacional para el flujo magnético, el Weber (símbolo: Wb). Profesor como Gauss de la Universidad de Göttingen también lo era de la de Halle-Wittenberg, en la primera fue llamado como profesor de física con tan sólo veintisiete años recomendado por su amigo Karl Gauss director del observatorio astronómico, de dicha colaboración surgen nuevos conocimientos en el campo de la magnetización como la búsqueda de una representación de la unidad de magnetismo en términos de masa, longitud y tiempo, asimismo el descubrimiento de las leyes de Kirchhoff de la electricidad.. Se dio su nombre a la unidad de medida del campo magnético o densidad de flujo magnético y al cinturón de desmagnetización (des-gausización). Gauss y Weber en Göttingen Uno de sus más importantes trabajos de Weber fue el Atlas des Erdmagnetismus (Atlas de Geomagnetismo), confeccionado en colaboración con Gauss y compuesto por una serie de mapas magnéticos de la Tierra que suscitaron el interés de las principales potencias del momento para crear "observatorios magnéticos". En y también en colaboración con Gauss publicó Medidas Proporcionales Electromagnéticas, conteniendo un sistema de medidas absolutas para corrientes eléctricas, que sentó las bases de las medidas que usamos hoy en día. Telégrafo Eléctrico

9 ,. CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (IX) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Sus aportaciones fueron importantes y valiosas en la teoría de los números y de la elasticidad, para la acústica y la aritmética superior, así como estudiar el teorema de Fermat. Fue en tras leer las Disquisitiones Arithmeticae cuando bajo el mismo seudónimo comienza a cartearse con Gauss. Años más tarde durante la invasión napoleónica a Prusia, Germain ruega a su conocido personal, el general francés Penerty que cuide a Gauss y le proteja de sufrir cualquier daño durante la ocupación de Brunswick. El militar se vio obligado a revelar a Gauss la verdadera identidad del Sr. Leblanc. El 30 de abril de Gauss le escribe a Sophie: Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. Leblanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante de lo que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es demasiado rara…. Pero cuando una persona del sexo femenino que, según nuestras costumbres y prejuicios debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo, tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior. Su relación epistolar duró años y Germain se convirtió en una figura muy presente en la vida de Gauss aunque jamás llegaron a conocerse.. Marie-Sophie Germain, nació en París en y fue una de las pocas mujeres matemáticas en una época en que ésta era disciplina reservada a los hombres. Manifestó este interés con tan sólo trece años pese a la oposición severa de sus padres, pero tras conseguir algunos de los apuntes que tomaban los alumnos de la Escuela Politécnica de París, comenzó bajo el seudónimo de Sr. Leblanc a enviarle sus trabajos a Joseph Louis Lagrange que posteriormente se convierte en su mentor.

10 ,. CARL FRIEDRICH GAUSS PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS (X) Autora: Florentina Martínez Martínez Tutor: Francisco Martínez González Fue el primero en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos y profundizó en ecuaciones diferenciales y secciones cónicas. Dejó como sus alumnos más destacados a Friedrich Bessel, Christoph Gudermann, Christian Ludwig Gerling, J.W. Richard Dedekind, Johann Encke, Johann Listing y Bernhard Riemann, y ya nadie duda de que es uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia, el cual llevó esta disciplina a cumbres impensables anteriormente y elevó la aritmética superior a la cima de dicha ciencia La muerte le sorprendió en Göttingen la madrugada del 23 de febrero de a los setenta y ocho años de edad. Se encuentra enterrado en el cementerio de Albanifriedhof. Concluye así la vida de un genio de las matemáticas, la física y la astronomía considerado como príncipe de las matemáticas, título que le impuso el rey Jorge V de Hanoover en unas monedas que acuñó para honrar a Gauss tras su muerte, y también como el matemático más grande desde la antigüedad, niño prodigio con influencia en campos como la geometría diferencial, la teoría de los números, la estadística, el álgebra, el análisis matemático, la óptica, la geodesia y el magnetismo.. Las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas. Karl Friedrich Gauss.


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