Supongamos que nos plantean el siguiente problema:

Presentación del tema: "Supongamos que nos plantean el siguiente problema:"— Transcripción de la presentación:

1 Supongamos que nos plantean el siguiente problema:
Un cuerpo de masa m1 se halla sobre una superficie inclinada con rozamiento. Sobre dicho cuerpo actúa una fuerza F, perpendicular a la superficie, como la que se muestra en la figura. Además, este cuerpo se halla vinculado a otro cuerpo de masa m2 por medio de un hilo inextensible y que permanece tenso a lo largo del movimiento. Si el sistema se halla inicialmente en reposo: a) demostrar que no permanecerá en reposo. b) hallar la aceleración del cuerpo 2. Datos:

2 Lo primero que uno debe hacer al estudiar un sistema dinámico es determinar cuáles son las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos que conforman el sistema. Para eso hacemos un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. Fuerzas: Hay una fuerza externa que nos dan como dato: F. Esta fuerza se deberá por ejemplo a la interacción con algún objeto que no nos están mostrando en la figura. La siguiente fuerza que marcaremos será el Peso. Esta fuerza se debe a la interacción gravitatoria con un cuerpo (por ejemplo un planeta) y es la única fuerza de acción a distancia que estudiaremos. Por ejemplo en nuestro caso esta Fuerza se debe a la interacción de cada uno de los cuerpos con la Tierra.

3 Una vez que hemos agotado las fuerzas externas que nos son indicadas y las fuerzas de acción a distancia (Peso), todas las fuerzas restantes que actúan sobre un cuerpo se deben a la interacción con los objetos que están en contacto con ese cuerpo. Por ejemplo: el cuerpo 1 se halla en contacto con una superficie y con un hilo. Las fuerzas que pueden originarse debido a la interacción con una superficie son una fuerza de sostén: Normal y una fuerza debida a la fricción: Fuerza de rozamiento (estática o dinámica si el objeto está quieto o no respecto de la superficie). Las fuerza que pueden originarse debido a la interacción con un hilo es la tensión. Como el cuerpo 1 no se halla en contacto con ningún otro objeto, además de las antes mencionadas, estas son todas las fuerzas que pueden estar actuando sobre él.

4 Tratemos de representarlas en el diagrama de cuerpo libre.
La Normal es siempre perpendicular a la superficie y hacia afuera de la misma. Como el cuerpo inicialmente se halla en reposo respecto de la superficie, el rozamiento en ese instante es estático. Pero debido a que tanto el módulo como el sentido de la fuerza de rozamiento estático depende de las otras fuerzas que estén actuando sobre el cuerpo, la vamos a dejar para el final, es decir, cuando ya hayamos analizado cuáles son todas las otras fuerzas actuantes. Pasemos entonces a la tensión. Ésta siempre tiene la misma dirección que el hilo en el punto en el que se halla sujeto al cuerpo en cuestión y siempre “tira” del cuerpo (siendo un hilo no puede “empujarlo”)

5 Ahora que ya hemos identificado todas las fuerzas salvo la de rozamiento estático podemos representarla en el diagrama. Las fuerzas de fricción con una superficie son siempre paralelas a ésta. La fuerza de rozamiento estático trata de evitar que exista movimiento relativo entre el cuerpo y la superficie, es decir que se opone al movimiento que habría si esta fuerza no actuase sobre el cuerpo. Si no estuviese la fuerza de rozamiento este objeto, con seguridad, comenzaría a desplazarse descendiendo sobre el plano. Entonces la fuerza de rozamiento debe ser opuesta a este movimiento.

6 Observación: si uno no puede determinar el sentido de la fuerza de rozamiento estático debido a que hay varias fuerzas que solicitan al cuerpo en ambos sentidos, simplemente se representa la fuerza de rozamiento con un sentido arbitrario y si después en las ecuaciones uno halla un valor negativo para esta fuerza quiere decir que había representado este vector con un sentido opuesto al que en realidad tiene. El cuerpo 2 se halla en contacto únicamente con el hilo, es decir que la única fuerza que nos falta incluir en su diagrama de cuerpo libre es la tensión.

7 Ahora que ya hemos completado el análisis de todas las fuerzas, usamos la segunda Ley de Newton para ver cuál es el efecto de estas fuerzas sobre el movimiento de cada cuerpo. La Segunda Ley de Newton plantea: Esta es una ecuación entre vectores y por lo tanto puedo escribirlo como varias ecuaciones entre escalares (números), una por cada dimensión de mi espacio. Para poder hacer esto tengo que identificar algunas direcciones de mi espacio y esto lo hacemos eligiendo un sistema de referencia.

8 Siempre que uno sepa que el movimiento que realizará un cuerpo es rectilíneo conviene tomar uno de los ejes del sistema de referencia en la dirección de movimiento. Como tenemos una ecuación de Newton para cada cuerpo, puedo tomar un sistema de referencia distinto para cada cuerpo. Por ejemplo tomamos el sistema de referencia para el cuerpo 2 haciendo que el eje x sea el resultante de haber trasladado, paralelamente al hilo, el eje x del sistema de referencia adoptado para el cuerpo 1. Con los sistemas de referencia ya elegidos podemos ahora escribir las ecuaciones dinámicas. En cada una de ellas habrá que colocar el valor de las fuerzas en esa dirección e indicando su sentido con un signo (+ si apunta en la dirección de los positivos, - si apunta en la dirección de los negativos).

9 La fuerza peso del cuerpo 1 no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de referencia que hemos adoptado para dicho cuerpo. En consecuencia deberemos descomponerla, es decir pensarla como suma de dos fuerzas cada una de ellas en la dirección de los ejes del sistema de referencia. Para saber el valor de cada una de esas componentes, primero hay que identificar el ángulo que forma esta fuerza con los ejes, para eso es conveniente dibujar las direcciones de los ejes y la dirección de la fuerza y su perpendicular: Cada uno de los ángulos que quedan determinados, sumado con cualquiera de sus ángulos vecinos da 90°. Es decir que el ángulo que está al lado de a es 90°-a. Y el que está al lado de 90°-a es a.

10 Una vez que identificamos los ángulos, usaremos trigonometría para saber los valores de cada una de las componentes del peso. Si nos fijamos bien, nos queda un triángulo rectángulo donde la fuerza a descomponer es la hipotenusa y sus componentes los dos catetos.

11 Con estos sistemas de referencia tenemos que las ecuaciones dinámicas para cada cuerpo son:
Aquí tenemos casi toda la información física sobre nuestro sistema. Lo único que nos falta son: las condiciones de vínculo. Sabemos que el cuerpo 1 se desliza sobre la superficie, esto nos dice que la velocidad en la dirección perpendicular a la superficie es siempre 0 y por lo tanto la aceleración en esa dirección también es siempre 0. La otra condición de vínculo que tenemos es que el hilo se mantiene tenso y es inextensible entonces el movimiento de uno de los cuerpos queda determinado por el del otro.

12 Ahora ya tenemos todo el planteo de nuestro problema.
Ecs. Dinámicas del cuerpo 1 Ecs. Dinámicas del cuerpo 2 Vínculos Lo primero que nos piden es demostrar que el sistema no permanecerá en reposo. Básicamente nos están diciendo que el valor máximo de la fuerza de rozamiento estático no es suficiente para compensar a las fuerzas que tratan de poner en movimiento al sistema. Para demostrarlo, supondremos que el sistema SÍ permanece estático y calcularemos cuál debería ser el valor de la fuerza de rozamiento en esta situación. Y después lo compararemos con el valor máximo posible de dicha fuerza. Si suponemos que el sistema permanece estático respecto de la superficie, entonces la aceleración de ambos cuerpos deberá ser 0.

13 Usando este dato en nuestras ecuaciones dinámicas obtenemos lo siguiente:
Hallemos el valor de la fuerza de rozamiento estático necesario para mantener al cuerpo en reposo. Despejando obtenemos que: Para hallar el valor de la tensión tendremos que utilizar la otra ecuación en la que aparece la tensión. Usamos ahora la fórmula para la fuerza Peso. El valor que debería tener la fuerza de rozamiento estático para que el sistema permanezca en reposo es: Calculemos ahora el valor máximo posible de la fuerza de rozamiento estático en estas condiciones y veamos si es mayor o menor que el que obtuvimos recién.

14 Como la fuerza de rozamiento estático puede valer como máximo 35N y para que el sistema permaneciese en reposo debía tener un valor de 120N, entonces el sistema comenzará a moverse. Ahora que sabemos que el sistema no permanecerá estático, habrá movimiento del cuerpo 1 respecto de la superficie, la fuerza de rozamiento será dinámica y no estática. Como al cambiar el estado de movimiento no cambia la representación de ninguna de las otras fuerzas en el diagrama de cuerpo libre (su valor podría cambiar, por ejemplo el de la tensión), sólo tendremos que ver cómo es esta fuerza de rozamiento dinámico. Es paralela a la superficie, se opone al movimiento existente entre el cuerpo y la superficie y su módulo está dado por:

15 El planteo de nuestro problema en esta situación es:
Ecs. Dinámicas del cuerpo 1 Ecs. Dinámicas del cuerpo 2 Vínculos Nos piden ahora hallar la aceleración del cuerpo 2. Como el sistema se ha puesto en movimiento, el valor de la tensión en esta situación NO será igual al obtenido en el caso estático. De la ecuación en y para el cuerpo 2 vemos que: Despejamos la aceleración del cuerpo 2 en la dirección x. Lo único que nos falta conocer es el valor de la tensión.

16 Para esto tendremos que usar la otra ecuación en la que aparece la tensión: la ecuación para el cuerpo 1 en la dirección x. Haciendo esto obtenemos: Si bien ahora la tensión ya no aparece en nuestra ecuación, hemos introducido otra incógnita, la aceleración del cuerpo 1 en x. La ventaja es que tenemos otra ecuación en la que aparece esta cantidad y es una de nuestras ecuaciones de vínculo: Haciendo uso de esta relación tenemos que:

17 Para hallar el valor de la fuerza de rozamiento dinámico necesitamos conocer el valor de la Normal debemos usar la ecuación del cuerpo 1 para la dirección y. De los vínculos vemos que: Finalmente, la aceleración del cuerpo 2 en la dirección x es: