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Tema 3 Revisión de diversos métodos robustos aplicados en algunos problemas fotogramétricos.

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1 Tema 3 Revisión de diversos métodos robustos aplicados en algunos problemas fotogramétricos

2 3.1. -¿POR QUÉ NO LOS MÍNIMOS CUADRADOS EN FOTOGRAMETRÍA? - Como ya se ha comentado anteriormente, el método de los mínimos cuadrados no permite tratar de forma correcta las observaciones fuera de rango del conjunto de medidas. - De esta forma, es necesario encontrar otros principios de estimación que permitan una estimación más correcta bajo las condiciones dadas. - La estimación robusta fue propuesta para este propósito por Huber y otros autores. Los estimadores robustos, como ya se ha dicho, son estimadores relativamente insensibles a las variaciones limitadas de la función de distribución de las medidas, y, por tanto, a la presencia de errores graves y desviaciones. - Existen muchos tipos de estimadores robustos, unos setenta. En todos ellos, no se minimiza el cuadrado ponderado de la suma de los residuos al cuadrado, MÍNIMO

3 sino funciones adecuadamente elegidas de v i : MÍNIMO Uno de los más conocidos fue propuesto por Huber y Hampel, con función (v) dada por: siendo la desviación estándar de las observaciones, y para Hampel, a, b y c constantes

4 -Hay que señalar que en ambos casos, el principio del ajuste depende de la magnitud del residuo v, con los residuos mayores contribuyendo poco a la función objetivo. -Otro principio de estimación robusta viene dado por : mínimo con 1 p < 2 en el cual el rango más favorable de valores de p está entre 1.0 y Para p=1, el método de estimación es el de la suma mínima. -Se observa que en los procesos de ajuste por mínimos cuadrados, las observaciones extremas o fuera de rango tienen una gran influencia en la estimación, mientras que en los métodos robustos tienen una influencia mucho menor.

5 -Al ser el concepto de estimación robusta una teoría relativamente nueva, no existen unas líneas generales que nos permitan seleccionar el mejor principio de ajuste para un determinado problema geodésico o fotogramétrico. -Pero, de forma experimental, se ha llegado a la conclusión de que estos métodos son superiores a los mínimos cuadrados en la detección y localización de errores graves y observaciones fuera del rango. -En la práctica, una es recomendable utilizar el principio de los mínimos cuadrados y uno de los principios alternativos de forma combinada. -Si aparece una gran diferencia en los resultados, esto puede indicar la presencia de errores y por tanto requerir un análisis más detallado de las observaciones. -Como ya se ha indicado anteriormente, la solución numérica para la estimación robusta consiste en un ajuste iterativo por mínimos cuadrados reponderados en el cual los pesos se construyen dependiendo de la magnitud de los residuos de la iteración anterior:

6 1) Pesos iniciales: p i0 = 1, i = 1,...,n -2) Solución mínimo cuadrática ponderada en la iteración a: - mínimo, a = 0,1,2,... 3) Cálculo de los nuevos pesos: p i,a = o incluso mejor, p i,a =

7 -En el método de la mínima suma, los pesos son iguales a: P = -El proceso iterativo se detiene cuando ya no se observan cambios significantes en los resultados. Normalmente es suficiente menos de diez iteraciones para lograr la convergencia – ADAPTACIÓN DEL MÉTODO DANÉS - Las ventajas anteriormente mencionadas de los métodos de estimación robusta fueron reconocidas por el Instituto Geodésico de Dinamarca, donde, hacia los años setenta, comenzaron a utilizar una rutina de búsqueda automática de errores en el cálculo de grandes redes geodésicas. - - Este método fue desarrollado a partir de las ideas de Krarup y está diseñado especialmente para eliminar las observaciones fuera de rango en las redes geodésicas.

8 La estimación según el método Danés, está basada en el siguiente algoritmo iterativo: p +1 = p f(v ) f(v) = : 0,1,2... La constante c se fija normalmente a 3, el símbolo p0 representa los factores de peso convencionales y m0 la desviación estándar de las observaciones. El método fue propuesto por Krarup en 1967 y desde entonces se ha utilizado como el método de cálculo estándar en este instituto para los problemas geodésicos. En los siguientes años, el método también ha sido utilizado en otras tareas por sus autores(fotogrametría)

9 - Existen variantes del método original para diferentes categorías de problemas que presentan una mayor eficiencia Algunos ejemplos son: Ajuste Fotogramétrico de Bloques (método de los haces):

10 UNA MODIFICACIÓN AL MÉTODO DANÉS DE REDUCCIÓN DE PESOS EN LA DETECCIÓN AUTOMÁTICA DE ERRORES GRAVES - Dentro del campo de la fotogrametría, se propuso en 1977 una alternativa o modificación al método clásico danés, analizado en la sección dedicada a estimación robusta, para ser aplicada al problema del ajuste por haces. - Desde el 22 Congreso en Hamburgo del ISPRS, el método Danés para detectar este tipo de errores en procesos fotogramétricos ha sido muy discutido. Aquí se describirá una de las modificaciones realizadas al método en un problema concreto, el ajuste de bloques por medio de haces.

11 El procedimiento final tiene tres pasos: 1)En el primer paso se realiza un ajuste normal utilizando el método de los mínimos cuadrados. Se realizaron entre dos o tres iteraciones. 2)En el segundo paso, se introduce una nueva función peso que asigna un peso muy bajo a las observaciones con residuos grandes. Debido a esto, estos residuos aumentarán de tamaño y en la siguiente iteración el proceso se acelerará. 3)En el tercer paso, se introduce una nueva función peso, que termina de localizar las observaciones erróneas y el proceso acaba utilizando un criterio adecuado.

12 donde : p: el peso calculado (0

13 Estas funciones han sido utilizadas con buenos resultados en el problema de ajuste de bloques pero no han sido comprobadas en la presencia de errores groseros de menor tamaño.

14 3. 4.-DETECCIÓN AUTOMÁTICA DE ERRORES GRAVES EN EL PROGRAMA DE AJUSTE DE BLOQUES PAT-M43 UTILIZANDO ESTIMADORES ROBUSTOS -El programa PAT-M43realiza un ajuste de bloques por medio de modelos independientes. Este acercamiento implica una transformación de semejanza espacial para cada modelo. -El ajuste se basa en una solución mínimo cuadrática. Las ecuaciones de observación no lineales se linealizan con respecto a los parámetros de orientación. -El programa realiza la iteración de los ajustes horizontales y verticales, aplicando transformaciones de cuatro y tres parámetros respectivamente. -Para cada iteración se forman directamente las ecuaciones normales reducidas a partir del modelo y las coordenadas de los puntos de control, y se resuelven utilizando el método de Cholesky modificado.

15 3. 4.-DETECCIÓN AUTOMÁTICA DE ERRORES GRAVES EN EL PROGRAMA DE AJUSTE DE BLOQUES PAT-M43 UTILIZANDO ESTIMADORES ROBUSTOS -Los problemas anteriormente mencionados que aparecen en el ajuste con datos erróneos son un atributo específico del procedimiento manual de limpieza de los datos sino por un comportamiento equivocado del método de los mínimos cuadrados. -Al aplicar una constante de peso p(constante para cada observación), la función de influencia (primera derivada de la función de los residuos a minimizar) muestra que la influencia de una observación defectuosa en el resultado del ajuste es directamente proporcional al tamaño del error. -Lógicamente las observaciones erróneas tienen que ser manejadas con pesos menores y no ser tratadas de la misma forma que las observaciones libres de error. -Todas las observaciones han de ser introducidas en el ajuste con pesos, elegidos de acuerdo con sus errores. -El problema de la localización de dichos errores es, por tanto, idéntico al de la determinación de los pesos adecuados para las observaciones.

16 - El diseño de una función de pesos especial debe adaptarse a : -distintos tamaños de error -distintas posibles combinaciones -diferentes geometrías de los Bloques Función de Pesos Robusta utilizada por PAT-M43: p(v) = Donde:

17 -Hay que señalar dos características de esta función. La primera es la dependencia de Q.En el comienzo del proceso iterativo el valor de Q es relativamente grande e irá disminuyendo con la convergencia. -Al final del proceso Q se aproximará a uno. Por ello la curva de la función de pesos es plana en el comienzo y se irá inclinando progresivamente con la desaparición de la influencia de los errores y la orientación final de los modelos. Representación gráfica de varias funciones de pesos y de influencia


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