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1 Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Análisis de tensiones Capítulo 3. ANÁLISIS DE DEFORMACIONES ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES 4 Analogías.

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1 1 Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Análisis de tensiones Capítulo 3. ANÁLISIS DE DEFORMACIONES ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES 4 Analogías entre tensiones y deformaciones 4 Concepto de deformación 4 Matriz de deformaciones: Significado de sus componentes 4 Ecuaciones de compatibilidad

2 2 ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Deformaciones producidas por el esfuerzo normal

3 3 ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones Deformaciones producidas por el esfuerzo cortante

4 4 ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ? Concepto de deformación : Se denomina deformación a la variación de la distancia relativa entre los puntos de un sólido elástico como consecuencia de una solicitación externa. ? Sea P un punto del sólido elástico inicialmente indeformado y Q un punto del entorno infinitesimal de P, tal que: Analicemos la deformación en el entorno del punto P a través de la transformación que sufre dr bajo la acción de una solicitación externa. ? Analizando dicho vector en función de dr podremos estudiar la deformación producida. ? Cuando el sólido se somete a una solicitación externa los puntos P y Q pasan a una nueva posición, P y Q. Una vez producida la deformación el entorno del punto P estará representado por un nuevo vector dr

5 5 ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ? Antes de proceder al estudio de la deformación veamos algunas definiciones: ! Las funciones u, v y w: u = u (x,y,z) v = v (x,y,z) w = w (x,y,z) 3 Dependen de la posición del punto en el espacio 3 Se supone que tanto ellas como sus derivadas son infinitesimos de primer orden (Teoría de los pequeños desplazamientos y deformaciones) 3 Se supone que son continuas y derivables en el espacio en el que están definidas Se denominan vectores desplazamiento, a los vectores que unen las posiciones inicial y final de dichos puntos: Cuando se produce la deformación los puntos del sólido elástico pasan a ocupar otra posición

6 6 Teniendo en cuenta que el entorno del punto P es infinitesimal, podemos expresar los desplazamientos del punto Q, Q (u,v,w), en función de los del punto P, P (u,v,w), y de sus derivadas primeras mediante un desarrollo en serie de Taylor: Matriz deformación Matriz giro ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones

7 7 Translación + Giro = Movimiento de sólido rígido Deformación Cambio de dirección Cambio de módulo = ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ? Deformaciones en el entorno de un punto El vector dr que representa la transformación en el entorno del punto P, se puede expresar en función de la posición inicial (dr) y de los vectores desplazamiento:

8 8 > Deformaciones lineales o longitudinales En la dirección del eje x En la dirección del eje y En la dirección del eje z ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ? Matriz de Deformación. Significado de sus componentes

9 9 > Deformaciones angulares ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ? Matriz de Deformación. Significado de sus componentes

10 10 ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones ? Matriz de Deformación. Criterio de Signos > Deformaciones angulares > Deformaciones lineales

11 11 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES Sin embargo, para que a partir de las componentes de la matriz de deformación obtengamos unos desplazamientos físicamente posibles, se deben cumplir ciertas condiciones de integrabilidad o compatibilidad, que serán necesarias y suficientes: Conocido el vector desplazamiento se pueden obtener las componentes de la matriz de deformación fácilmente: ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones

12 12 ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES Al igual que las tensiones, las deformaciones son magnitudes de carácter tensorial, es decir, para un mismo punto P del continuo, la deformación depende de la dirección que se considere, se denomina: Vector deformación unitaria,, en una dirección definida por el vector unitario u ), normal a un plano a la transformación: ?Las proyecciones de dicho vector sobre las direcciones normal y tangencial al plano, darán lugar a las componentes intrínsecas: Componente intrínseca normal o deformación longitudinal unitaria Componente intrínseca tangencial o deformación transversal unitaria ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones

13 13 ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES ?Direcciones principales de deformación: Son aquellas en las que la deformación sólo produce cambio de módulo y no de dirección (la componente tangencial del vector deformación es nula): ?En la referencia principal, la matriz de deformaciones es diagonal: u I u II u III ?Existen tres invariantes, el primero de ellos representa la variación unitaria de volumen: ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones

14 14 ANALOGÍAS ENTRE DEFORMACIONES Y TENSIONES ? El estado de deformaciones en el entorno de un punto puede representarse gráficamente por medio de los Círculos de Mohr en deformaciones: ELASTICIDAD. Análisis de deformaciones


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