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@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT
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@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.2 PROBLEMAS SOBRE RECTAS EN EL ESPACIO U.D. 10.5 * 2º BCT
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 RESUMEN ANALÍTICO POSICIONES DE DOS RECTAS. De las ecuaciones continuas de r y s extraemos las implícitas. Se forma un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas. 1.- Rectas que se cruzan. Rango (A) = h = 3 Rango (AM) = h’ = 4 2.- Rectas secantes. Rango (A) = Rango (AM) = 3 3.- Rectas paralelas. Rango (A) = h = 2 Rango (AM) = h’ = 3 4.- Rectas coincidentes. Rango (A) = Rango (AM) = 2 r r r r = s s s s
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 Problema 1 1.Estudia analíticamente e interpreta geométricamente, según los valores del parámetro k, la posición relativa de las siguientes rectas: r {x ‑ 2z = 1, y – z = 2}, s {x + y + z = 1, x ‑ 2y + 2z = k}. Solución Sea el sistema formado por las ecuaciones implícitas: x – 2z = 1 1 0 – 2 1 0 – 2 1 y – z = 2 (A) = 0 1 – 1 (AM) = 0 1 – 1 2 x + y + z = 1 1 1 1 1 1 1 1 x – 2y + 2z = k 1 – 2 2 1 – 2 2 k Rango de (A) = h = 3, pues hay un determinante 3x3 no nulo. En (AM) aplicamos F3 = F3 – F1 y F4 = F4 – F1 para luego hallar el determinante 4x4 por adjuntos de la primera columna.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 … Problema 1 …Solución Sea el sistema formado por las ecuaciones implícitas: 1 0 – 2 1 1 – 1 2 (AM) = 0 1 – 1 2 ; |AM| = 1. 1 3 0 0 1 3 0 – 2 4 k – 1 0 – 2 4 k – 1 |AM| = 3k – 3 + 8 + 12 + k – 1 = 4k + 16 Si k = – 4 |AM| = 0 Rango (AM) < 4 Rango (AM) = 3 Como Rango (A) = 3 Rectas secantes. Calculamos el punto de corte mediante Gauss-Jordan Si k <> – 4 |AM| <> 0 Rango (AM) = 4 Como Rango (A) = 3 Rectas secantes.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 … Problema 1 …Solución Sea el sistema formado por las ecuaciones implícitas: 1 0 – 2 1 1 0 – 2 1 (AM) = 0 1 – 1 2 = F4 + 2F3 = 0 1 – 1 2 0 1 3 0 F3 – F2 0 0 4 – 2 0 – 2 4 k – 1 0 0 10 K – 1 F1 = F1 – 2.F2 1 – 2 0 – 3 1 – 2 0 – 3 (AM) = 0 1 – 1 2 = F3 / 4 = 0 1 0 3/2 0 0 4 – 2 F2 + F3 0 0 1 – 1/2 0 0 10 k – 1 0 0 10 K – 1 F1 + 2.F2 y deducimos: z = – ½, y = 3/2, x = 0 PI(0, 3/2, ½) También 10.z = k – 1 10.(-1/2) = k – 1 – 5 = k – 1 k = – 4
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 Problema 2 Dadas las rectas r {3x ‑ 2z= ‑ 3, 3x-kz=3 ‑ 4k}, s {3y ‑ 2z= ‑ 2, kx ‑ 2y=k ‑ 4} determina los valores de k para los cuales las rectas r y s están en un mismo plano y busca la ecuación de este plano. Solución La posición relativa de r y s deben ser que sean rectas secantes 3 0 – 2 3 0 – 2 – 3 (A)= 3 0 – k ; (AM) = 3 0 – k 3 – 4k 0 3 – 2 0 3 – 2 – 2 k – 2 0 k – 2 0 k – 4 |A| = 9k – 18 ; 3k 2 – 12 ; 3k – 12 No hay ningún valor de k que anule los tres determinantes 3x3 que se pueden formar, luego Rango (A) = 3 Hago F2 – F1 y desarrollo |AM| por adjuntos de primera columna.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 …Problema 2 …Solución Hago F2 – F1 y desarrollo |AM| por adjuntos de primera columna. 3 0 – 2 – 3 1 0 – 2 – 3 |AM| = 0 0 2 – k 6 – 4k =3. 0 0 2 – k 6 – 4k 0 3 – 2 – 2 0 3 – 2 – 2 k – 2 0 k – 4 k/3 – 2 0 k – 4 C3 + 2.C1 y C4 + 3.C1 1 0 0 0 0 2 – k 6 – 4k |AM| = 3. 0 0 2 – k 6 – 4k = 3. 3 – 2 – 2 0 3 – 2 – 2 – 2 2k/3 2k – 4 k/3 – 2 2k/3 2k – 4 = 8 – 4k + 12k – 8k 2 – 24 + 16k + 6k 2 + 24 – 24k = 0 2k 2 – 8 = 0 k = 2 y k = – 2 Rango (AM) = 3 Rectas secantes
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.9 …Problema 2 El valor de k para que las rectas fueran coplanarias era 2 y -2. Dadas las rectas r {3x ‑ 2z= ‑ 3, 3x-kz=3 ‑ 4k}, s {3y ‑ 2z= ‑ 2, kx ‑ 2y=k ‑ 4}, busca la ecuación del plano que determinan. Para k = 2 : r {3x ‑ 2z= ‑ 3, 3x-2z= ‑ 5}, s {3y ‑ 2z= ‑ 2, 2x ‑ 2y= ‑ 2} Vemos que la recta r está determinada por dos planos paralelos, lo que es imposible. K no puede valer 2. Para k = – 2: r {3x ‑ 2z= ‑ 3, 3x+2z=11}, s {3y ‑ 2z= ‑ 2, -2x ‑ 2y= ‑ 6} …Solución Vector director de r: Vector director de s: i j k i j k d = 3 0 – 2 = - 6j – 6j = - 12j d’ = 0 3 – 2 = - 4i + 4j + 6k 3 0 2 - 2 – 2 0 d = 12j Punto A de r: A (4/3, –1, 7/2) d’ = 4i – 4j – 6k Punto B de s: B (4, –1, 7/2)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.10 …Problema 2 …Solución d = 12j Punto A de r: A (4/3, –1, 7/2) d’ = 4i – 4j – 6k Punto B de s: B (4, –1, 7/2) Plano determinado por las dos rectas: (x,y,z) = (4/3, –1, 7/2) + λ.(12j) + μ.(4i – 4j – 6k) En paramétricas: x = 4/3 + 4.μ y = –1 + 12.λ – 4.μ z = 7/2 – 6.μ Despejando λ y μ μ = (x – 4/3) / 4 = (3x – 4) / 12 μ = (z – 7/2) / (– 6) = – (2z – 7) / 12 λ = (y + 4.μ + 1) / 12 3x – 4 = – (2z – 7) 3x + 2z – 11 = 0, que es la ecuación del plano formado por r y s.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.11 Problema 3 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas: (x, y, z)=(1,0,2)+ t(0,2,3) y (x,y,z)=(1,0,2)+ s(3,0,1). Solución El punto de intersección será la solución del sistema: 1 = 1 + 3.s 2t = 0 s = 0, t = 0 2 + 3t = 2 + s PI=(1, 0, 2) Vector director de la recta: d = PI – O = (1 – 0, 0 – 0, 2 – 0) = (1, 0, 2) Ecuación de la recta: (x,y,z) = (1,0, 2) + k.(1, 0, 2)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.12 Problema 4 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y es paralela a la recta de ecuación: {2x+3y-z= ‑ 1, x-y+3z=4}. Solución Vector director de r: i j k d = 2 3 –1 = 9i – i – j – 6j – 2k – 3k = 8i – 7j – 5k 1 –1 3 Punto A de r: z = 0 x = 4 + y 2.(4 + y) + 3y = – 1 5.y = – 9 y = – 9 /5 x = 4 – 9 /5 = 11/5 A(11/5, – 9/5, 0) Ecuación de r: (x, y, z) = (11/5, – 9/5, 0) + k.(8, – 7, – 5)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.13 Problema 5 Una recta es paralela a los planos x+y=1, x+z=0 y pasa por el punto (2,0,0). Halla sus ecuaciones. Solución Vector director de r: i j k d = 1 1 0 = i – j – k 1 0 1 Punto A de r: A=(2, 0, 0) Ecuación vectorial: (x, y, z) = (2, 0, 0) + k.(1, – 1, – 1) Ecuación paramétrica: x = 2 + k, y = – k, z = – k Ecuación continua: x – 2 = – y, y = z Ecuación implícita: r {x + y = 2, y – z = 0}
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