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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAOLO CURSO: FISICA I ANALISIS VECTORIAL AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAOLO CURSO: FISICA I ANALISIS VECTORIAL AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010

2 I. INTRODUCCIÓN Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.

3 II. VECTORES Y ESCALARES 1.ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2.VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3.TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión

4 III. VECTOR Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido. Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.

5 Elementos de un vector 1.Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos

6 III.Elementos de un vector 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector. Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha. 3.Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

7 IV.Clase de vectores 1.Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido. 2.Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta. 3.Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación

8 V.Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir: 1.Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos 2.Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

9 Algebra vectorial: Suma vectorial Considere dos vectores A y B como se muestra. El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo. La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de cosenos- La dirección mediante la ley de cosenos

10 Algebra vectorial: Resta vectorial Considere dos vectores A y B como se muestra. El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo. La magnitud del vector diferencia D es La dirección mediante la ley de cosenos

11 Leyes del algebra vectorial 1.Conmutatividad. 2.Asociatividad

12 Multiplicación de un escalar por un vector Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector. El producto es un nuevo vector. La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector. Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

13 Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 1.Les asociativa para la multiplicación. Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe 2.Ley distributiva para la adición vectorial. si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene

14 Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 3. Ley distributiva para la suma escalar. Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene

15 Suma de varios vectores Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir

16 VI.VECTOR UNITARIO Es un vector colineal con el vector original Tiene un módulo igual a la unidad Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir

17 VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

18 VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio. 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

19 DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

20 DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2.EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO. Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes

21 DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes

22 DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio.

23 VECTOR POSICIÓN

24 VECTOR POSICIÓN RELATIVO

25 VIII. PRODUCTO ESCALAR El producto escalar o producto punto de dos vectores denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

26 Propiedades del producto escalar 1.El producto escalar es conmutativo 2.El producto escalar es distributivo 3.Producto de un escalar por el producto escalar 4.Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

27 Propiedades del producto escalar 4.Producto escalar de dos vectores unitarios iguales 5.Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 6.Producto escalar de dos vectores

28 Propiedades del producto escalar 7.Producto escalar de dos vectores en forma de componentes. Entonces tenemos 8.Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

29 INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCA LER Geométricamente esta situación se muestra en la figura

30 VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

31 IX. PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

32 REGLA DE LA MANO DERECHA a. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos. b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

33 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA L 1.El producto vectorial no es conmutativo 2.El producto vectorial es distributivo

34 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA L 3.Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4.Multiplicación vectorial de vectores unitarios

35 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA L 5.El producto vectorial de dos vectores en componentes es 6.La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B 7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

36 Ejemplo 01 La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posición 1,2,3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.

37 Ejemplo 02 En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?.

38 Ejemplo 03 Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave SOLUCION

39 EJEMPLO O2 F R F B La resultante F R de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza F B en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

40 Ejemplo La camioneta es remolcada usando dos cables como se muestra en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables, sabiendo que la superposición de ambas dan una resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x. Considere que =50°

41 Ejemplo 04 La figura muestra un triángulo cuyos lados son Demuestre el teorema de los cosenos SOLUCION

42 Ejemplo 05 Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector

43 Ejemplo 06 En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo

44 Ejemplo 07 Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella

45 EJEMPLO O1 Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas F A y F B esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante

46 EJEMPLO O1 Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo

47 Ejemplo Utilizar el método de las componentes rectangulares para determinar el módulo R de a resultante y los ángulos que forma su recta soporte con los semiejes x, y, z de coordenadas.

48 Ejemplo 08 La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema

49 Ejemplo Exprese la fuerza en componentes i, j y k y determine la proyección de F = 800 N sobre BC

50 Ejemplo (a) Exprese la fuerza de 250 N de módulo en componentes i, j y k. (b) halle la proyección ortogonal del vector fuerza sobre la línea CA

51 EJEMPLO O2 F (a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la recta OA.

52 Ejemplo A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F 1 y F 2.

53 Ejemplo 09 Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura

54 EJEMPLO O2 Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

55 Ejemplo La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine: (a) La proyección F CD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD.

56 Ejemplo 10 Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea recta que pasa por los puntos P 1 (-1, 2, 0) y P 2 (1, 1, 4)

57 Ejemplo 10 Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al vector

58 Ejemplo 10 Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.

59 Ejemplo 11 Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector

60 Ejemplo 11 Demostrar que los vectores pueden ser los lados de un triángulo y hallar las longitudes de las medianas de dichos triangulo

61 Ejemplo 11 Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores

62 Ejemplo 12 (a) Halle los vectores de posición r 1 r 2 de los puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de coordenadas trirectangulares en función de los vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y analíticamente la resultante de dichos vectores.

63 Ejemplo 13 Halle un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores

64 Ejemplo 14 Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es igual al módulo del producto vectorial

65 Ejemplo 14 Determine el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k

66 Ejemplo Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector

67 Ejemplo Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas l 1 y l 2 mostrada en la figura.

68 Ejemplo Descomponga la fuerza de 250 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas PR y QR mostrada en la figura.

69 Problemas de aplicación 1)Si F 1 = 5i + 6j y F 2 = 2i – 3j -4k. Determine F 3 tal que la suma de las tres fuerzas sea nula. 2)¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F = (2000i j +600k)lb?. 3)Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza normal a que sumadas resulten en la fuerza 4)Dados los vectores y : Determine: 5)Halle los cosenos directores de la fuerza y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con los ejes coordenados.

70 Problemas de aplicación 6.


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