Relaciones de equivalencia y de orden Definición 2.2.5 (p. 46) Una relación  se llama relación de equivalencia sii es reflexiva, simétrica y transitiva.

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1 Relaciones de equivalencia y de orden Definición 2.2.5 (p. 46) Una relación  se llama relación de equivalencia sii es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición (p. 44) Una relación  se llama relación de orden sii es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Agrupa los elementos del conjunto (de definición de  ) en “grupitos equivalentes” Ordena los elementos del conjunto (de definición de  ). Sea  : Z  Z tq x  y sii x – y es múltiplo de 5 Sea  : P(A)  P(A) tq X  Y sii X  Y  k  Z tq x – y = 5k

2 Relaciones de equivalencia Definición 2.2.5 (p. 46) Una relación  se llama relación de equivalencia sii es reflexiva, simétrica y transitiva. Sea  : Z  Z tq x  y sii x – y es múltiplo de 5 Agrupa los elementos del conjunto (de definición de  ) en “grupitos equivalentes” Ejemplo de vida cotidiana: Encuestas. E=conjunto de personas encuestadas. x  y sii para la pregunta 4) x marcó la misma opción que y. Pregunta 4) Su actividad deportiva favorita es ( ) caminar ( ) jugar fútbol ( ) ir al gimnasio ( ) nadar ( ) ninguna de las anteriores

3 Relaciones de equivalencia Definición 2.2.5 (p. 46) Una relación  se llama relación de equivalencia sii es reflexiva, simétrica y transitiva. Sea  : Z  Z tq x  y sii x – y es múltiplo de 5 Agrupa los elementos del conjunto (de definición de  ) en “grupitos equivalentes” Definición (p. 47) Dada una relación de equivalencia  sobre el conjunto E, y dado a  E, la clase de equivalencia de a es {x  E: a  x} = [a] {x  E: a  x} = [a] NOTA: Utilizaremos el símbolo “  ” para indicar “relación”.

4 Relaciones de equivalencia Definición 2.2.5 (p. 46) Una relación  se llama relación de equivalencia sii es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición (p. 47) Dada una relación de equivalencia  sobre el conjunto E, y dado a  E, la clase de equivalencia de a es {x  E: a  x} = [a] {x  E: a  x} = [a] Teoremas (p. 49) 1)  a  E, a  [a]  E. 2)  a  E, [a]  . 3) Si b  [a] entonces [b] = [a] 4) Si [a]  [b] entonces [a]  [b] = . 5) Definición (p. 49) El conjunto formado por todas las clases de una relación de equivalencia se llama conjunto cociente.

5 Relaciones de equivalencia y de orden Definición 2.2.5 (p. 46) Una relación  se llama relación de equivalencia sii es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición (p. 44) Una relación  se llama relación de orden sii es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Agrupa los elementos del conjunto (de definición de  ) en “grupitos equivalentes” Ordena los elementos del conjunto (de definición de  ). Sea  : Z  Z tq x  y sii x – y es múltiplo de 5 Sea  : P(A)  P(A) tq X  Y sii X  Y  k  Z tq x – y = 5k

6 Relaciones de orden Definición 2.2.2 (p. 44) Una relación de orden  sobre un conjunto E, se llama un orden total sobre E sii  x, y  E, x  y  y  x. Definición 2.2.2 (p. 44) Al par ordenado (E,  ) se llama un conjunto totalmente ordenado sii  es un orden total sobre E. Definición 2.2.3 (p. 44) Una relación de orden  sobre un conjunto E, se llama un orden parcial sobre E sii  no es un orden total.  x, y  E, x  y  y  x Definición 2.2.3 (p. 44) Al par ordenado (E,  ) se llama un conjunto parcialmente ordenado sii  es un orden total sobre E.

7 Relaciones de orden Definición 2.2.4 (p. 45) Sea E un conjunto dotado de una relación de orden denotada por “  ”. Para Y  E, un elemento m  E se llama una cota superior de Y sii  y  Y, y  m. A={n  N: n es un número de dos cifras} B=]0, 1[ C={p  Z: 7 – p es positivo} Los tres conjuntos dotados de una relación “  ” habitual. Definición 2.2.4 (p. 45) Y se llama acotado superiormente sii Y posee una cota superior. Definición (p. 45) El elemento m se llama máximo de Y sii m es cota superior de Y  m  Y.

8 Relaciones de orden Definición (p. 45) Sea E un conjunto dotado de una relación de orden denotada por “  ”. Para Y  E, un elemento p  E se llama una cota inferior de Y sii  y  Y, p  y. A={n  N: n es un número de dos cifras} B=]-2.5, 4] C={p  Z: 7 – p es negativo} Los tres conjuntos dotados de una relación “  ” habitual. Definición (p. 45) Y se llama acotado inferiormente sii Y posee una cota inferior. Definición (p. 45) El elemento p se llama mínimo de Y sii p es cota inferior de Y  p  Y.