VECTORES 1.CONCEPTO DE DIRECCION 2.ESCALARES Y VECTORES 3.ADICION DE VECTORES 4.COMPONENTES DE UN VECTOR 5.ADICION DE VARIOS VECTORES 6.APLICACIÓN DE A.

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1 VECTORES 1.CONCEPTO DE DIRECCION 2.ESCALARES Y VECTORES 3.ADICION DE VECTORES 4.COMPONENTES DE UN VECTOR 5.ADICION DE VARIOS VECTORES 6.APLICACIÓN DE A PROBLEMAS DE CINEMATICA 7.PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL 8.PROBLEMAS

2 CONCEPTO DE DIRECCION En una línea recta podemos movernos a lo largo de ella en dos sentidos opuestos, y cuando esta línea a sido orientada (fecha) le llamamos eje (eje coordenado X,Y). Entonces una línea orientada define una dirección determinada. La dirección en un plano se determina por un ángulo, y en el espacio es necesario usar dos ángulos (θ y Ф).

3 ESCALARES Y VECTORES ESCALARES Y VECTORES ESCALAR Es una cantidad física queda completamente determinada por su magnitud expresada en algunas unidades convencionales - Volumen V = 30 m 3 - Tiempo t = 20 s - Temperatura T = 18 ˚ C VECTOR Es una cantidad física que requiere para su completa determinación que se añada una dirección a su magnitud - Desplazamiento X - Velocidad V - Fuerza F Su escritura es de tipo grueso (Negrita) o Un vector unitario es un vector cuya magnitud es uno

4 ADICION DE VECTORES ADICION DE VECTORES V es la suma V 1 y V 2 Para su magnitud de V

5 ADICION DE VECTORES ADICION DE VECTORES Para su dirección de V, hallamos el ángulo α, para : Δ ACD Δ BDC De igual forma o Entonces

6 ADICION DE VECTORES ADICION DE VECTORES Para el caso especial en que los vectores sean perpendiculares, usaremos: Para el modulo, el teorema de pitágoras Para su dirección con la función trigonométrica:

7 COMPONENTES DE UN VECTOR COMPONENTES DE UN VECTOR Cualquier vector V puede considerarse como la suma de dos o mas vectores, a esta suma se le llama componentes de V Con Definiendo los vectores unitarios, paralelos a los ejes X,Y Por consiguiente tenemos:

8 COMPONENTES DE UN VECTOR COMPONENTES DE UN VECTOR Dado el vector V, en el espacio: V x, V y, V z, que se puede calcular de acuerdo a Siendo su modulo Con vectores unitarios Paralelos a los ejes X,Y,Z, respectivamente. Tenemos :

9 ADICION DE VARIOS VECTORES ADICION DE VARIOS VECTORES Sabemos que r es el vector posición, con coordenadas (X,Y,Z) vemos que El vector posición relativo a los puntos En loa figura notamos que De modo que

10 ADICION DE VARIOS VECTORES ADICION DE VARIOS VECTORES Extendemos el procedimiento anterior para varios vectores, (para tres vectores ver figura). Dibujamos un vector después del otro, indicando la suma del vector por la línea va del origen del primero al extremo del ultimo entonces : Utilizando el método de componentes y considerando que todos los vectores están en el plano, de tal modo que solo usamos dos componentes. Por consiguiente:

11 PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL El producto escalar entre dos vectores A, B es representado por: Propiedades: Cuando son perpendiculares ConmutativoDistributiva Producto escalar entre vectores unitarios

12 PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial entre dos vectores A,B es representado por: La dirección esta dada por la regla de la mano derecha Propiedades: Cuando son paralelos AnticonmutativoDistributiva Producto vectoriales entre vectores unitarios Usando determinantes

13 PROBLEMAS 1.Dados dos vectores: A de 6 unidades haciendo un ángulo de 36˚ con el eje X; B de 7 unidades y en la dirección negativa del eje X. Hallar: a.- La suma de los dos vectores. b.- La diferencia delos vectores. 2.Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman ángulos entre ellos de: a) 0°, b) 60°, c) 90°, d)150° y e) 180°. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección con respecto al vector más pequeño. 3.Un auto recorre 20 km rumbo al norte y luego 35 km en dirección 60° al oeste del norte, como se ve en la figura. Hállense la magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

14 4.Dados los vectores y hallar los módulos de: hallar los módulos de:

15 5. Para los siguientes vectores: y Calcular la magnitud y dirección de cada vector. 6.Hallar las componentes de un vector de 13 u de largo que forman un ángulo θ de 22,6 ° con el eje Z, y cuya proyección en el plano XY forma un ángulo Ф de 37°, con el eje + X. Encontrar también los ángulos con los ejes X e Y. 7.Hallar el resultado de la suma de los siguientes vectores 8.Un bote a motor se dirige hacia el norte a 15 km/h, en un lugar donde la corriente es de 5 km/h en la dirección S 70° E. Encontrar la velocidad resultante del bote.

16 9.La velocidad de aeroplano en aire tranquilo es de 200 millas por hora, se desea ir de O a O`, siendo la dirección de OO` N 20˚ Oeste. El viento tiene una velocidad de 30 millas por hora en la dirección N 40° E. Encontrar la dirección del movimiento del avión y su velocidad resultante. 10.Encontrar el ángulo entre vectores: y 11.Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores: 12.Demostrar que: 13.Demostrar que: 14.Demostrar que: