Generación de Números Seudo-Aleatorios

Presentación del tema: "Generación de Números Seudo-Aleatorios"— Transcripción de la presentación:

1 Generación de Números Seudo-Aleatorios
En la práctica ninguna función produce datos aleatorios verdaderos. Las funciones producen números pseudo-aleatorios.

2 Generación de Números Seudo-Aleatorios
Un elemento importante en simulación es tener rutinas que generen variables aleatorias con distribuciones específicas: uniforme, normal, etc. Para ello la base es generar una secuencia de números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1. Y para ello la clave es generar números enteros aleatorios y uniformemente distribuidos en un cierto intervalo de una manera eficiente.

3 Técnicas para generar números aleatorios
La mayoría de los métodos (generadores) comienzan con un número inicial (semilla), a este número se le aplica un determinado procedimiento y así se encuentra el primer número random. Usando este número como entrada, el procedimiento es repetido para lograr un próximo número random.

4 Técnicas para generar números aleatorios
 Método Del Cuadrado Medio: comienza con un número inicial (semilla). Este número es elevado al cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de este nuevo número (según los dígitos que se deseen) y se colocan después del punto decimal. Este número conforma el primer número random. Ejemplo: X0 = 5497 X02 = (5497)2 = 30,217,009 ===> X1 = 2170   R1 = X12 = (2170)2 = 04,708,900 ===> X2 = 7089   R2 = X22 = (7089)2 = 50,253,921 ===> X3 = 2539

5 Operación mod k mod m es el residuo de hacer la división de k entre m
Sea x un entero grande 45 mod 12 = (5+55x) mod 5 = (5+55x) mod 11 =

6 Método de la Congruencia Lineal

7 El número aleatorio se encuentra de la siguiente manera:
R = x / m

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9 Usar Excel para calcular los números aleatorios que se producen para m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x0 = 0, hasta 14. Ejercicio 1

10 Usar Excel para calcular los números aleatorios que se producen para m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x0 = 0, hasta 14. Ejercicio Para x0 = 1: ¿Cuál es el período, la longitud es del ciclo y la longitud de la cola ?. R: 5, 4, 1.

11 Usar Excel para calcular los números aleatorios que se producen para m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x0 = 0, hasta 14. Ejercicio

12 GCL Multiplicativos Periodo completo = Cuando tiene el máximo periodo posible, m – 1. Los hay con m potencia de 2 (m = 2k ) que son rápidos pues el residuo en divisiones con potencia de 2 puede hacerse rápidamente. Aunque tienen la desventaja que no son de periodo completo pueden ser suficientes para muchas aplicaciones. Cuando m no es potencia de 2 el generador es menos rápido; se acostumbra elegir un número m que sea primo y la relación entre m y a debe ser especial para que el generador tenga un periodo completo o al menos grande.

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15 Ejercicio 2 Suponiendo que se utilice el generador de números seudo-aleatorios. y que la semilla se escoge eligiendo al azar un entero entre 1 y 26 − 1 inclusive, determine el promedio de la longitud del periodo y su desviación estándar.

16 Varianza y Desviación Estándar para una muestra de datos.

17 Ejercicio 1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 5; Varianza y Desviación Estándar 2. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: 3. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 15; Varianza y Desviación Estándar

18 Ejercicio yn+1 = (625 ・ xn+1 + 48) mod 63
Frecuentemente se utilizan generadores de números seudo-aleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de xn+1 = (81 ・xn + 121) mod 255 es utilizado por yn+1 = (625 ・ xn ) mod 63 para producir el número yn+1 que es el que se reporta. Usando la semilla x0 = 23 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y1 y y2).

19 Otro ejercicio yn+1 = (125 ・ xn+1 + 11) mod 63
Frecuentemente se utilizan generadores de números seudo-aleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de xn+1 = (45 ・xn + 71) mod 127 es utilizado por yn+1 = (125 ・ xn ) mod 63 para producir el número yn+1 que es el que se reporta. Usando la semilla x0 = 49 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y1 y y2).

20 Probando generadores de números aleatorios
Es importante asegurarse de que el generador usado produzca una secuencia suficientemente aleatoria. Para esto se somete el generador a pruebas estadísticas. Si no pasa una prueba, podemos asumir que el generador es malo. Pasar una prueba es una condición necesaria pero no suficiente. Un generador puede pasar una prueba y luego no pasarla si se usa otra semilla u otro segmento del ciclo.

21 ¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno?
PRUEBAS GRÁFICAS Gráfica de Serie de Tiempo. Tablas de frecuencias e histogramas PRUEBA ESTADÍSTICA Prueba Ji-cuadrada Usar el ejemplo: xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.

22 Gráfica de Serie de Tiempo
Es importante observar que NO exista ningún patrón o tendencia. xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados

23 ¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno?
¿Cuál de estas series de números parecen venir de un buen generador?

24 Tabla de frecuencias e histograma

25 Números aleatorios entre 0 y 1
1, 0  x  1 f(x) = 0, en otro caso 1 f(x) x Función de densidad de probabilidad Función de probabilidad acumulada: P(X<= x) 0, x < 0 F(x) = x, 0  x  1 1, x<1 1 F(x) x

26 Números aleatorios entre 0 y 1
* La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado.  * Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido.  * Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N número de observaciones totales). El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), es producir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribución uniforme y de independencia.

27 Prueba estadística Ji-cuadrada
Esta es la prueba más comúnmente usada. En general, puede ser usada para cualquier distribución. A partir de un histograma, se comparan las frecuencias observadas con las frecuencias obtenidas de la distribución específica (frecuencias esperadas).

28 Prueba estadística Ji-cuadrada
Hipótesis nula. Ho: no hay diferencia entre frecuencias observadas y esperadas. Hipótesis alternativa. Ha o H1 : existe una diferencia entre frecuencias observadas y esperadas. Estadístico de prueba: Si el ajuste es exacto, c02 es cero, pero por aleatoriedad no lo será. Se puede demostrar que tiene distribución ji-cuadrado con k-1 grados de libertad.

29 Distribución Ji-cuadrada
Ejercicio: Determine el 95º percentil de la distribución ji-cuadrada con 6 grados de libertad.

30 Prueba estadística Ji-cuadrada
Los grados de libertad son iguales a: número de filas - 1 Región de Rechazo: En esta prueba se debe cuidar que las frecuencias esperados sean mayores o iguales a 5.

31 Prueba estadística Ji-cuadrada Ejercicio 3
Generador: xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar nivel de significancia = a = 0.05 Ho: Los valores provienen de una distribución uniforme. Ha: Los valores NO provienen de una distribución uniforme.

32 Prueba estadística Ji-cuadrada Ejercicio 3
Estadístico de prueba

33 Prueba estadística Ji-cuadrada Ejercicio 3
Región de Rechazo: 2.8 no es mayor que , por lo que el estadístico de prueba NO cae en la región de rechazo. Conclusión: Ho NO se rechaza. Los valores generados sí parecen venir de una distribución uniforme

34 Ejercicio 4 Generador: xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1
Con semilla = 1, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar 10 intervalos. Usar nivel de significancia = a = 0.05.

35 Ejercicio 5 Usando el método del cuadrado medio y semilla = 5896, se generaron los primeros 80 números aleatorios. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores provienen de una distribución uniforme. Usar 8 intervalos y un nivel de significancia = a = 0.05.

36 Ejercicio 6 Generador: xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1
Con semilla = 14, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar 8 intervalos. Usar nivel de significancia = a = 0.05.

37 Generación de variables aleatorias discretas
Suponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguiente distribución de probabilidad: 0  R  entonces x = 18 grs. 0.3 < R  entonces x = 19 grs. 0.7 < R  entonces x = 20 grs. Para esto, se necesitan números aleatorios R entre 0 y 1.

38 Ejercicio 7 xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1 Con semilla = 1.
Usar el generador: xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – Con semilla = 1. Generar 100 valores de la distribución: Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución de probabilidad anterior (a = 0.05). Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza.

39 Números aleatorios con distribución normal
En Excel. =NORMINV(RAND(),500,50) aleatorio entre 0 y 1 (puedes usar tu propio generador) media desv. std.

40 Ejercicio 8 Usar el generador: xn+1 = (59 ・xn) mod 217 – Con semilla = matrícula menor del equipo. Generar 500 valores de la distribución uniforme continua entre 0 y 1 con el generador. Usar esos valores para generar 500 números aleatorios de la distribución normal con media 100 y desviación estándar 16 (distribución del puntaje de IQ). Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución normal (a = 0.01). En la tabla de frecuencias, calcular a mano 3 frecuencias esperadas (mostrar procedimiento usando editor de ecuaciones). Escribir conclusión (sí o no se trata de un buen generador de números normales). Construir el histograma de frecuencias observadas y el histograma de frecuencias esperadas. Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza. Indicar qué semillas se usaron y cuál fue el valor del estadístico en cada caso.